satistika fluida

Statika fluida (juga disebut hidrostatika) adalah ilmu dari cairan saat istirahat, dan merupakan sub-bidang dalam mekanika fluida. The term usually refers to the mathematical treatment of the subject. Istilah ini biasanya merujuk pada perawatan matematika subjek. It embraces the study of the conditions under which fluids are at rest in stable equilibrium . Ini mencakup studi tentang kondisi di mana cairan dalam keadaan diam di stabil kesetimbangan. The use of fluid to do work is called hydraulics , and the science of fluids in motion is fluid dynamics . Penggunaan fluida untuk melakukan kerja disebut hidrolika, dan ilmu pengetahuan cairan dalam gerak adalah dinamika fluida.

Tekanan statik di dalam fluida

Karena sifatnya yang tidak dapat dengan mudah dimampatkan, fluida dapat menghasilkan tekanan normal pada semua permukaan yang berkontak dengannya. Pada keadaan diam (statik), tekanan tersebut bersifat isotropik, yaitu bekerja dengan besar yang sama ke segala arah. Karakteristik ini membuat fluida dapat mentransmisikan gaya sepanjang sebuah pipa atau tabung, yaitu, jika sebuah gaya diberlakukan pada fluida dalam sebuah pipa, maka gaya tersebut akan ditransmisikan hingga ujung pipa. Jika terdapat gaya lawan di ujung pipa yang besarnya tidak sama dengan gaya yang ditransmisikan, maka fluida akan bergerak dalam arah yang sesuai dengan arah gaya resultan.

Konsepnya pertama kali diformulasikan, dalam bentuk yang agak luas, oleh matematikawan dan filsuf Perancis, Blaise Pascal pada 1647 yang kemudian dikenal sebagai Hukum Pascal. Hukum ini mempunyai banyak aplikasi penting dalam hidrolika. Galileo Galilei, juga adalah bapak besar dalam hidrostatika.

Tekanan hidrostatik

Sevolume kecil fluida pada kedalaman tertentu dalam sebuah bejana akan memberikan tekanan ke atas untuk mengimbangi berat fluida yang ada di atasnya. Untuk suatu volume yang sangat kecil, tegangan adalah sama di segala arah, dan berat fluida yang ada di atas volume sangat kecil tersebut ekuivalen dengan tekanan yang dirumuskan sebagai berikut

dengan (dalam satuan SI),

P adalah tekanan hidrostatik (dalam pascal);

ρ adalah kerapatan fluida (dalam kilogram per meter kubik);

g adalah percepatan gravitasi (dalam meter per detik kuadrat);

h adalah tinggi kolom fluida (dalam meter).

Apungan

Sebuah benda padat yang terbenam dalam fluida akan mengalami gaya apung yang besarnya sama dengan berat fluida yang dipindahkan. Hal ini disebabkan oleh tekanan hidrostatik fluida.

Sebagai contoh, sebuah kapal kontainer dapat mengapung sebab gaya beratnya diimbangi oleh gaya apung dari air yang dipindahkan. Makin banyak kargo yang dimuat, posisi kapal makin rendah di dalam air, sehingga makin banyak air yang "dipindahkan", dan semakin besar pula gaya apung yang bekerja.

Prinsip apungan ini ditemukan oleh Archimedes.

Dinamika fluidaDinamika fluida adalah subdisiplin dari mekanika fluida yang mempelajari fluida bergerak. Fluida terutama cairan dan gas. Penyelsaian dari masalah dinamika fluida biasanya melibatkan perhitungan banyak properti dari fluida, seperti kecepatan, tekanan, kepadatan, dan suhu, sebagai fungsi ruang dan waktu. Disiplini ini memiliki beberapa subdisiplin termasuk aerodinamika (penelitian gas) dan hidrodinamika (penelitian cairan). Dinamika fluida memliki aplikasi yang luas. Contohnya, ia digunakan dalam menghitung gaya dan moment pada pesawat, mass flow rate dari petroleum dalam jalur pipa, dan perkiraan pola cuaca, dan bahkan teknik lalu lintas, di mana lalu lintas diperlakukan sebagai fluid yang berkelanjutan. Dinamika fluida menawarkan struktur matematika yang membawahi disiplin praktis tersebut yang juga seringkali memerlukan hukum empirik dan semi-empirik, diturunkan dari pengukuran arus, untuk menyelesaikan masalah praktikal.

fluida

Sifat Fluida Ideal:

- tidak dapat ditekan (volume tetap karena tekanan)
- dapat berpindah tanpa mengalami gesekan
- mempunyai aliran stasioner (garis alirnya tetap bagi setiap partikel)
- kecepatan partikel-partikelnya sama pada penampang yang sama

HUKUM BERNOULLI

Hukum ini diterapkan pada zat cair yang mengalir dengan kecepatan berbeda dalam suatu pipa

CEPAT ALIRAN (DEBIT AIR)

Cepat aliran (Q) adalah volume fluida yang dipindahkan tiap satuan waktu.

Q = A . v

A₁ . v₁ = A₂ . v₂

v = kecepatan fluida (m/det)
A = luas penampang yang dilalui fluida

Untuk zat cair yang mengalir melalui sebuah lubang pada tangki, maka besar kecepatannya selalu dapat diturunkan dari Hukum Bernoulli, yaitu:

v = Ö(2gh)

h = kedalaman lubang dari permukaan zat cair

Contoh:

1. Sebuah kolam air berdinding bujursangkar dengan panjang 15 m, tingginya 7,5m.Tentukanlah tekanan air 4,5 m di bawah permukaan air!

Jawab:

P = r . g . h = 10³ . 10 . 4,5
P = 4,5.10⁴ N/m²

2. Air mengalir sepanjang pipa horisontal, penampang tidak sama besar. Pada tempat dengan kecepatan air 35 cm/det tekanannya adalah 1 cmHg. Tentukanlah tekanan pada bagian pipa dimana kecepatan aliran airnya 65 cm/det.(g = 980 cm/det²) !

Jawab:

P₁ = 1 cmHg = 1.13,6.980 dyne/cm²
P₁ = 13328 dyne/cm²

v₁ = 35 cm/det; v₂ = 65 cm/det

Prinsip Bernoulli:
P₁ + pgy₁ + 1/2rv₁² = P₂ + rgy₂ + 1/2rv₂²

Karena y₁ = y₂ (pipa horisontal), maka:

P₁ - P₂ = 1/2 r (V₂² - V₁²)
P₁ - P₂ = 1/2 1 (652 352)
P₁ - P₂ = 1/2 3000
P₁ - P₂ = 1500 dyne/cm2

Jadi:

P₂ = P₁ - 1500
P₂ = 13328 - 1500
P₂ = 11828 dyne/cm
P₂ = 0,87 cmHg

Fluida ( zat alir ) adalah zat yang dapat mengalir, misalnya zat cair dan gas. Fluida dapat digolongkan dalam dua macam, yaitu fluida statis dan dinamis.

TEKANAN HIDROSTATIS

Tekanan hidrostatis ( P_h) adalah tekanan yang dilakukan zat cair pada bidang dasar tempatnya.

PARADOKS HIDROSTATIS

Gaya yang bekerja pada dasar sebuah bejana tidak tergantung pada bentuk bejana dan jumlah zat cair dalam bejana, tetapi tergantung pada luas dasar bejana ( A ), tinggi ( h ) dan massa jenis zat cair ( r )
dalam bejana.

HUKUM PASCAL

Tekanan yang dilakukan pada zat cair akan diteruskan ke semua arah sama.

P₁ = P₂ ® F₁/A₁ = F₂/A₂

HUKUM ARCHIMEDES

Benda di dalam zat cair akan mengalami pengurangan berat sebesar berat zat cair yang dipindahkan.

Tiga keadaan benda di dalam zat cair:

W = berat benda
Fa = gaya ke atas = rz . V' . g
rb = massa jenis benda
rz = massa jenis fluida
V = volume benda
V' = volume benda yang berada dalam fluida

Akibat adanya gaya ke atas ( Fa ), berat benda di dalam zat cair (Wz) akan berkurang menjadi:

Wz = W - Fa

Wz = berat benda di dalam zat cair

TEGANGAN PERMUKAAN

Tegangan permukaan ( g) adalah besar gaya ( F ) yang dialami pada permukaan zat cair persatuan panjang(l)

g = F / 2l

KAPILARITAS

Kapilaritas ialah gejala naik atau turunnya zat cair ( y ) dalam tabung kapiler yang dimasukkan sebagian ke dalam zat cair karena pengarah adhesi dan kohesi.

y = 2 g cos q / r g r

y = kenaikan/penurunan zat cair pada pipa (m)
g = tegangan permukaan (N/m)
q = sudut kontak (derajat)
p = massa jenis zat cair (kg / m³)
g = percepatan gravitas (m / det²)
r = jari-jari tabung kapiler (m)

MEKANIKA FLUIDA
mekanika fluida biasanya dianggap subdisiplin dari mekanika kontinum, seperti yang diilustrasikan pada tabel berikut.
Mekanika kontinum: studi fisika dari material kontinu Mekanika solid: studi fisika dari material kontinu dengan bentuk tertentu. Elastisitas: menjelaskan material yang kembali ke bentuk awal setelah diberi tegangan.
Plastisitas: menjelaskan material yang secara permanen terdeformasi setelah diberi tegangan dengan besar tertentu. Reologi: studi material yang memiliki karakteristik solid dan fluida.
Mekanika fluida: studi fisika dari material kontinu yang bentuknya mengikuti bentuk wadahnya. Fluida non-Newtonian
Fluida Newtonian
secara mekanis, sebuah fluida adalah suatu substansi yang tidak mampu menahan tekanan tangensial. Hal ini menyebabkan fluida pada keadaan diamnya berbentuk mengikuti bentuk wadahnya.
Asumsi Dasar
Seperti halnya model matematika pada umumnya, mekanika fluida membuat beberapa asumsi dasar berkaitan dengan studi yang dilakukan. Asumsi-asumsi ini kemudian diterjemahkan ke dalam persamaan-persamaan matematis yang harus dipenuhi bila asumsi-asumsi yang telah dibuat berlaku.
Mekanika fluida mengasumsikan bahwa semua fluida mengikuti:

1. Hukum kekekalan massa
2. Hukum kekekalan momentum

Hipotesis kontinum
Fluida disusun oleh molekul-molekul yang bertabrakan satu sama lain. Namun demikian, asumsi kontinum menganggap fluida bersifat kontinu. Dengan kata lain, properti seperti densitas, tekanan, temperatur, dan kecepatan dianggap terdefinisi pada titik-titik yang sangat kecil yang mendefinisikan REV (‘’Reference Element of Volume’’) pada orde geometris jarak antara molekul-molekul yang berlawanan di fluida. Properti tiap titik diasumsikan berbeda dan dirata-ratakan dalam REV. Dengan cara ini, kenyataan bahwa fluida terdiri dari molekul diskrit diabaikan.
Masalah akurasi ini biasa dipecahkan menggunakan mekanika statistik. Untuk menentukan perlu menggunakan dinamika fluida konvensial atau mekanika statistik, angka Knudsen permasalahan harus dievaluasi. Angka Knudsen didefinisikan sebagai rasio dari rata-rata panjang jalur bebas molekular terhadap suatu skala panjang fisik representatif tertentu. Skala panjang ini dapat berupa radius suatu benda dalam suatu fluida. Secara sederhana, angka Knudsen adalah berapa kali panjang diameter suatu partikel akan bergerak sebelum menabrak partikel lain.
Persamaan Navier-Stokes
Persamaan Navier-Stokes (dinamakan dari Claude-Louis Navier dan George Gabriel Stokes) adalah serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida seperti cairan dan gas. Persamaan-persamaan ini menyatakan bahwa perubahan dalam momentum (percepatan) partikel-partikel fluida bergantung hanya kepada gaya viskos internal (mirip dengan gaya friksi) dan gaya viskos tekanan eksternal yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes menjelaskan kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida.
Persamaan Navier-Stokes memiliki bentuk persamaan diferensial yang menerangkan pergerakan dari suatu fluida. Persaman seperti ini menggambarkan hubungan laju perubahan suatu variabel terhadap variabel lain. Sebagai contoh, persamaan Navier-Stokes untuk suatu fluida ideal dengan viskositas bernilai nol akan menghasilkan hubungan yang proposional antara percepatan (laju perubahan kecepatan) dan derivatif tekanan internal.
Untuk mendapatkan hasil dari suatu permasalahan fisika menggunakan persamaan Navier-Stokes, perlu digunakan ilmu kalkulus.
Bentuk umum persamaan
Fluida Newtonian vs. non-Newtonian
Sebuah Fluida Newtonian (dinamakan dari Isaac Newton) didefinisikan sebagai fluida yang tegangan gesernya berbanding lurus secara linier dengan gradien kecepatan pada arah tegak lurus dengan bidang geser. Definisi ini memiliki arti bahwa fluida newtonian akan mengalir terus tanpa dipengaruhi gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Sebagai contoh, air adalah fluida Newtonian karena air memiliki properti fluida sekalipun pada keadaan diaduk.
Sebaliknya, bila fluida non-Newtonian diaduk, akan tersisa suatu "lubang". Lubang ini akan terisi seiring dengan berjalannya waktu. Sifat seperti ini dapat teramati pada material-material seperti puding. Peristiwa lain yang terjadi saat fluida non-Newtonian diaduk adalah penurunan viskositas yang menyebabkan fluida tampak "lebih tipis" (dapat dilihat pada cat). Ada banyak tipe fluida non-Newtonian yang kesemuanya memiliki properti tertentu yang berubah pada keadaan tertentu.
Persamaan pada fluida Newtonian
Konstanta yang menghubungkan tegangan geser dan gradien kecepatan secara linier dikenal dengan istilah viskositas.
Hubungan dengan mekanika kontinum
Mekanika fluida biasanya dianggap subdisiplin dari mekanika kontinum, seperti yang diilustrasikan pada tabel berikut.
Plastisitas: menjelaskan material yang secara permanen terdeformasi setelah diberi tegangan dengan besar tertentu.
Reologi: studi material yang memiliki karakteristik solid dan fluida.

Benda tegar

DINAMIKA ROTASI DAN
KESETIMBANGAN BENDA
TEGAR
Benda tegar adalah benda yang dianggap sesuai dengan dimensi ukuran sesungguhnya di mana
jarak antar partikel penyusunnya tetap. Ketika benda tegar mendapatkan gaya luar yang tidak
tepat pada pusat massa, maka selain dimungkinkan gerak translasi benda juga bergerak rotasi
terhadap sumbu rotasinya. Coba Anda amati pergerakan mainan di salah satu taman hiburan
seperti gambar di atas. Para penumpang bisa menikmati putaran yang dilakukan oleh motor
penggerak yang terletak di tengah. Karena gerak rotasinya maka para penumpang mempunyai
energi kinetik rotasi di samping momentum sudut. Di samping itu pula besaran fisis yang lain juga
terkait seperti momen inersia, kecepatan dan percepatan sudut, putaran, serta torsi.

PETA KONSEP
Berubah
waktu
Tetap
Massa Kecepatann
Momentum
Hukum kekekalan
momentum sudut
Jarak ke
titik asal
Momentum
sudut
Kesetimbangan
statis
Syaratnya
resultan gaya
dan torsi nol
BENDA TEGAR
Gerak
translasi
Massa
Posisi,
kecepatan
dan
percepatan
Titik
pusat
massa
Gerak
translasi
& rotasi
Gerak
menggelinding
Titik berat
Gerak
rotasi
Torsi
Percepatan
sudut
Kecepatan
sudut, Posisi
sudut, Titik
Pusat Rotasi,
Momen Inersia
Dapat
bersifat
Hasil kali
Didefinisi
kan sbg
hasil kali
vektor
Jika tak ada gaya luar
berlaku
syaratnya
memiliki
Dapat mengalami
Dikarakterisasi oleh
contohnya
Dikarakterisasi oleh
Disebabkan oleh
Berkaitan dengan
Laju perubahannya terhadap
waktu

Cek Kemampuan Prasyarat
Sebelum Anda mempelajari Sub-bab ini, kerjakan terlebih
dahulu soal-soal berikut ini di buku latihan Anda. Jika Anda
dapat mengerjakan dengan benar, maka akan memudahkan
Anda dalam mempelajari materi di Sub-bab berikutnya.
1. Apa yang dimaksud dengan diagram gaya untuk benda bebas?
2. Tuliskannlah bunyi hukum kekekalan energi mekanik.
3. Gambarkanlah diagram gaya untuk benda bebas yang terdiri
katrol dan balok berikut:
3.1 Dinamika Rotasi
Seperti yang telah Anda pelajari tentang materi dinamika
partikel, di mana suatu benda sebagai obyek pembahasan dianggap
sebagai suatu titik materi mengalami gerak translasi (dapat bergerak
lurus atau melengkung) jika resultan gaya eksternal yang bekerja pada
benda tersebut tidak nol

Untuk menyelesaikan masalah
dinamika partikel, Anda harus menguasai menggambar diagram gaya
untuk benda bebas dan kemudian menggunakan Hukum II Newton

Dalam Sub-bab ini Anda akan mempelajari materi dinamika
rotasi benda tegar. Benda tegar adalah suatu benda dimana partikelpartikel
penyusunnya berjarak tetap antara partikel satu dengan yang
lainnya. Benda tegar sebagai objek pembahasan, ukurannya tidak
diabaikan (tidak dianggap sebagai satu titik pusat materi), di mana
resultan gaya eksternal dapat menyebabkan benda bergerak translasi
dan juga rotasi (berputar terhadap suatu poros tertentu). Gerak rotasi
balok
tali
katrol

disebabkan oleh adanya torsi, yaitu tingkat kecenderungan sebuah
gaya untuk memutar suatu benda tegar terhadap suatu titik poros.
Untuk menyelesaikan masalah dinamika rotasi benda tegar,
Anda harus menguasai menggambar diagram gaya benda bebas,
kemudian menggunakan

untuk benda yang bergerak
translasi dan menggunakan untuk benda yang bergerak rotasi,
dengan I (kg.m2) besaran momen inersia dan percepatan sudut.
Dalam materi dinamika partikel, Anda telah mempelajari dan
menggunakan hukum kekekalan energi mekanik untuk menyelesaikan
masalah gerak translasi dan ternyata dapat terelesaikan dengan lebih
mudah dan cepat dibanding dengan menggunakan analisa dinamika
partikel
. Hal demikian juga berlaku pada pemecahan
masalah gerak rotasi tertentu seperti gerak menggelinding (gabungan
translasi dan rotasi) benda tegar yang menuruni atau mendaki suatu
permukaan bidang miring, dimana penggunaan hukum kekekalan
energi mekanik lebih mudah dan cepat dibanding menggunakan analisa
dinamika rotasi yang menggunakan persamaan
dan Sebelum materi dinamika rotasi, Anda telah mempelajari
hukum kekekalan momentum linier. Dalam Sub-bab ini Anda akan
diperkenalkan dengan materi hukum kekekalan momentum sudut.
Contoh aplikasi hukum ini ditemui pada pada atlit penari es yang
melaukan peningkatan laju putarannya dengan cara menarik kedua
lengannya dari terentang ke merapat badannya.
3.2. Kecepatan dan Percepatan Angular
Dalam membahas materi tentang gerak rotasi Anda harus
terlebih dahulu mempelajari besaran fisis gerak rotasi yaitu pergeseran
sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Besaran pergeseran sudut,
kecepatan sudut dan percepatan sudut selalu dinyatakan dalam bentuk
vektor. Arah pergeseran sudut adalah positif bila gerak rotasi (melingkar atau
berputar) berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan arah
vektornya (seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.1) sejajar dengan
sumbu rotasi (sumbu putar) yaitu arah maju sekrup putar kanan.

Kecepatan sudut didefinisikan sebagai perbandingan pergeseran sudut
dengan waktu tempuh dengan arah kecepatan sudut searah dengan
pergeseran sudut atau searah dengan sumbu putar yaitu:

Sedangkan percepatan sudut didefinisikan sebagai perbandingan
kecepatan sudut dengan waktu tempuh yang dinyatakan sebagai:
pergeseran sudut, radian (rad), t: waktu, sekon (s),
kecepatan sudut (rad/s), : percepatan sudut, (rad/s2).
Dari persamaan (3.2) terlihat bahwa percepatan sudut bergantung
pada perubahan arah kecepatan sudut (kalau sumbu putar arahnya
berubah) dan bergantung pada perubahan besar kecepatan sudut .
Dalam gerak melingkar yang jari-jarinya r dan kecepatan
sudutnya , besar kecepatan linier benda adalah , sedang
arahnya sama dengan arah garis singgung pada lingkaran di titik
dimana benda berada. Kecepatan linier benda dinyatakan sebagai
, yang menunjukkan bahwa arah v tegak lurus baik terhadap
maupun r , yaitu searah dengan arah maju sekrup putar kanan bila
diputar dari ke r seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.2.
Sehingga persamaan gerak melingkar :

Contoh soal 1
Sebuah cakram berputar dengan percepatan sudut konstan 2 rad/s2. Jika
cakram mulai dari keadaan diam berapa putaran dan kelajuan sudutnya
setelah 10 s?
Penyelesaian:
Cakram melakukan gerak melingkar berubah beraturan dengan
percepatan konstan, maka sudut tempuh yang dilakukan
dihitung dengan:

jumlah putaran yang dilakukan cakram adalah
putaran
rad
radx putaran 15,9

Sedangkan kecepatan sudut yang dilakukan cakram dihitung
dengan:

Kegiatan 1. Menghitung kecepatan sudut dan kecepatan linier.
1. Ambil sepeda angin dan posisikan agar roda belakang dapat
berputar dengan baik.
2. Ukur dan catat radius roda,
3. Beri tanda pada “pentil” sebagai acuan obyek pengamatan,
4. Putar roda dan pastikan “pentil” berputar sejauh setengah
putaran (180o) dan catat waktu yang diperlukan dengan
menggunakan stop wacth,
5. Tentukan kecepatan sudut dari pentil tersebut,
6. Tentukan kecepatan linier dari pentil yang dianggap berada
pada tepian roda.
Tugas 1.
Sebuah gerinda dengan radius 15 cm diputar dari keadaan diam
dengan percepatan sudut 2 rad/s2. Jika gerinda berputar selama 10
sekon, tentukan kecepatan sudutnya, kecepatan linier titik di tepi
gerinda, berapa jumlah putaran yang ditempuh gerinda tersebut?
3.3. Torsi dan Momen Inersia
Bila Anda ingin memutar permainan gasing, Anda harus
memuntirnya terlebih dahulu. Pada kasus itu yang menyebabkan gasing
berotasi adalah torsi. Untuk memahami torsi dalam gerak rotasi, Anda
tinjau gambar batang langsing yang diberi poros di salah satu ujungnya
(titik O) dan diberikan gaya F yang membentuk sudut terhadap
horizontal seperti yang ditunjukkan Gambar 3.3.
Gaya F mempunyai komponen ke arah horizontal, dan arah
vertikal F sin sedangkan jarak tegak lurus antara garis kerja sebuah
gaya dengan sumbu rotasi disebut lengan, r. Dari kedua komponen
gaya tersebut yang dapat menyebabkan batang langsing berotasi
terhadap titik poros rotasi adalah komponen gaya F sin, karena
komponen gaya ini yang menimbulkan torsi pada batang sehingga
batang langsing dapat berputar berlawanan dengan arah putaran jarum
jam sedangkan komponen gaya F costidak menyebabkan torsi pada
batang langsing.
Dari hukum ke dua Newton untuk massa yang konstan dapat ditulis:

Jika kedua ruas persamaan (3.3) ini dikalikan secara silang dengan r ,
diperoleh

Besaran skalar dalam persamaan (3.4) didefinisikan sebagai bersaran
momen inersia I, untuk benda tegar yang tersusun dari banyak partikel
dengan masing-masing massa m1, m2, m3, ..., mN dan berjarak tegak
lurus terhadap titik poros masing-masing r1, r2, r3, ..., rN maka momen
inersia sistem partikel tersebut adalah:

Bila suatu benda tegar seperti pada Gambar 3.4 berputar terhadap
sumbu yang tegak lurus bidang gambar melalui titik O, dengan
memandang bahwa benda tegar tersebut tersusun dari jumlahan elemen
kecil massa , maka momen inersia dalam persamaan (3.5) dapat
ditulis sebagai berikut:
Hasil kali sebuah gaya dengan lengannya dinamakan torsi,

dengan sudut antara lengan gaya dengan garis kerja gaya dan arah
torsi searah sekrup diputar kanan.

Gambar 3.4 Benda tegar dengan distribusi massa kontinu yang berputar
terhadap titik o
Apabila elemen massa diambil sangat kecil, maka
bentuk jumlahan dalam persamaan (3.6) dapat diganti dengan bentuk
intergral, jadi momen inersianya adalah:

dengan r adalah jarak elemen massa dm terhadap sumbu putar.
Contoh soal 3.2.
Sebuah batang langsing 1 meter dikenai tiga gaya seperti gambar, bila
poros terletak di salah satu ujung O, tentukan torsi total yang dilakukan
oleh ketiga gaya tersebut pada batang langsing terhadap poros O.
O B C = 30o
F2 sin F2= 10 N
F2 cos
F1= 20 N
F3 = 25 N
94
Penyelesaian:
Gaya (N) Lengan torsi
(m)
Torsi (mN) Arah torsi
F1=20
F2 cos
F2 sin 30o =
5
F3 = 25
OB = 0,5
0
OC = 1
OC = 1
0,5 x 20 =
10
0
1 x 5 = 5
(-1) x 25 = -
25
Berlawanan arah
jarum jam
-
berlawanan arah
jarum jam
searah jarum jam
Jadi momen inersia terhadap poros O adalah (10) + (5) + (-25) = -10
(mN). Tanda negatif menunjukkan arah torsi total berlawanan arah
jarum jam.
Contoh soal 3.3.
Tiga benda kecil massanya masing-masing 0,1 kg, 0,2 kg dan 0,3 kg,
diletakkan berturut-turut pada titik A (0,0) m, B (4,0) m dan C (2,3) m
seperti pada Gambar dan dihubungkan dengan batang tegar yang
massanya diabaikan. Berapakah momen inersia sistem ini bila diputar
terhadap sumbu X ?
Penyelesaian:
Ketiga benda terletak secara diskrit,
maka momen inersia:
I = mA
2
A r + mB
2
B r + mC
2
C r
Mengingat benda A dan B terletak
sepanjang sumbu rotasi, maka rA dan
rB sama dengan nol, sehingga
I = mC
2
C r = (0,3 kg) (3m)2 = 2,7 kg
m2.
95
Tabel 3.1. Momen inersia benda-benda yang sering dikenal
3.3. Pemecahan Masalah Dinamika Rotasi
Untuk memecahkan persoalan dinamika rotasi, apabila di
dalamnya terdapat bagian sistem yang bergerak translasi maka
pemecahannya dapat dilakukan dengan mengambil langkah-langkah
sebagai berikut:
1. Identifikasi benda bagian dari sistem sebagai obyek
pembahasan dan kelompokkan mana yang bergerak translasi
dan yang rotasi.
2. Tentukan sumbu koordinat yang memudahkan untuk
penyelesaian berikutnya.
3. Gambar diagram gaya benda bebas untuk masing-masing
benda.
4. Gunakan persamaan F ma
untuk translasi dan I untuk gerak rotasi.
5. Padukan dua persamaan pada langkah 4 untuk penyelesaian
akhir.
96
Untuk memahami penyelesaian dengan urutan langkah tersebut
di atas, silakan Anda mengimplementasikan pada studi kasus dinamika
rotasi berikut ini:
Contoh soal 3.4.
Benda A massa m (kg) dihubungkan dengan tali pada sebuah roda putar
berjari-jari R dan bermassa M (kg) seperti Gambar . Bila mula-mula
benda A diam pada ketinggian h1 (m) kemudian dilepas sampai pada
ketinggian h2 (m), tentukan tegangan tali dan percepatan linier benda A
sepanjang geraknya.
Penyelesaian :
Analisa rotasi:
Setelah benda A dilepas roda (bagian
sistem yang berotasi) berputar dengan
percepatan sudut , dalam hal ini gaya
penggerak rotasinya adalah gaya
tegangan tali T. Dari hukum kedua
Newton untuk gerak rotasi
dan definisi momen inersia roda
terhadap sumbunya I =
,
2
1 MR2 diperoleh 2

TxR 1 MR
Karena T tegak lurus R, maka bila
ditulis dalam bentuk skalar menjadi
TR sin 900 = 2

1 MR
Analisis translasi:
Benda A merupakan bagian system yang bertranslasi, percepatan
linier benda A sama dengan percepatan linier roda, yaitu a = R,
sehingga gaya tegangan tali dapat dinyatakan dalam:
T = Ma


Sepanjang gerakan benda A berlaku hukum ke dua Newton :
mg – T = ma
sehingga dengan memasukkan harga T, maka besaran percepatan
linier benda A, percepatan sudut roda dan gaya tegangan tali
berturut-turut dapat dinyatakan sebagai

Kegiatan 2. Menghitung percepatan linier dan sudut, tegangan tali.
1. Ambil katrol dan tali, susunlah membentuk system mekanik
dimana di kedua ujung tali diberi dua ember yang sama,
2. Isi masing-masing ember dengan air, 2 kg dan 4 kg,
3. Posisikan system awalnya diam setimbang dengan posisi kedua
ember sama tinggi,
4. Dari keadaan setimbang, kedua ember dilepas,
5. Ukur radius katrol, massa katrol dan hitung momen inersianya,
6. Dengan stop watch, catat waktu yang dibutuhkan ketika salah
satu ember menempuh 50 cm,
7. Dengan analisa kinematika translasi dan rotasi, hitung
percepatan linier ember, tegangan tali dan percepatan sudut
katrol.
Tugas 2.
Seorang siswa mengamati seorang pekerja bangunan yang sedang mengangkat
benda balok 40 kg ke atas lantai 2 setinggi 3 m dari lantai dasar dengan
menggunakan “krane” /sistem katrol. Jika radius katrol 25 cm dan benda
sampai di lantai 2 dalam waktu 3 sekon, hitung percepatan sudut katrol dan
tegangan tali. Percepatan benda bergerak ke atas 1 m/s.
3.4. Pemecahan Masalah Dinamika Rotasi dengan Hukum
Kekekalan Energi Mekanik
Anda telah mencoba mengimplementasikan pemecahan
masalah dinamika rotasi dengan menggunakan hukum II Newton
��F �� ma dan ���� �� I�� . Perlu Anda ingat pula bahwa masalah

dinamika translasi dapat juga diselesaikan secara mudah dan cepat
dengan hukum kekekalan energi mekanik, demikian juga secara analogi
masalah dinamika rotasi dapat juga diselesaikan dengan menggunakan
hukum kekekalan energi mekanik. Pada bagian ini kita akan
mempelajari cara pemecahan masalah dinamika rotasi berupa gerak
menggelinding dengan menggunakan hukum kekekalan energi
mekanik.
Gerak menggelinding adalah suatu gerak dari benda tegar yang
melakukan gerak translasi sekaligus melakukan gerak rotasi. Benda
tegar yang melakukan gerak menggelinding maka selama gerakan
berlaku hukum kekekalan energi mekanik, yang diformulasikan sebagai
berikut:
E (mekanik) E ( potensial) E (translasi) E (rotasi) M P K K

Energi kinetik translasi dihitung berdasarkan asumsi bahwa benda
adalah suatu partikel yang kelajuan liniernya sama dengan kelajuan
pusat massa sedangkan energi kinetik rotasi dihitung berdasarkan
asumsi bahwa benda tegar berotasi terhadap poros yang melewati pusat
massa.
Sekarang Anda implementasikan pada masalah gerak
menggelinding dari silinder pejal pada lintasan miring dengan dua cara
sekaligus berikut ini:
Contoh soal 3.4.
Sebuah silinder pejal bermassa M dan berjari-jari R diletakkan pada
bidang miring dengan kemiringan �� terhadap bidang horisontal yang
mempunyai kekasaran tertentu. Setelah dilepas silinder tersebut
menggelinding, tentukan kecepatan silinder setelah sampai di kaki
bidang miring!
Cara penyelesaiannya:
99
Persoalan ini dapat diselesaikan menggunakan konsep dinamika atau
menggunakan hukum kekekalan tenaga mekanik.
a. Penyelesaian secara dinamika
Silinder menggelinding karena bidang miring mempunyai tingkat
kekasaran tertentu. Momen gaya terhadap sumbu putar yang
menyebabkan silinder berotasi dengan percepatan sudut ��
ditimbulkan oleh gaya gesek f, yang dapat ditentukan melalui
fR = I��
karena momen inersia silinder terhadap sumbunya adalah I =


1 MR dan percepatan linier a = ��R, maka gaya gesek dapat
dinyatakan sebagai


Pada gerak menggelinding tersebut pusat massa silinder bergerak
translasi, sehingga berlaku hukum kedua Newton.
Mg sin �� – f = Ma
Setelah memasukkan harga f di atas dapat diketahui percepatan
linier silinder, yaitu a = sin��
Dengan menggunakan hubungan v2 = v2
0 + 2 as, dan mengingat
kecepatan silinder saat terlepas vo = 0 dan h = s sin ��, maka
kecepatan silinder setelah sampai di ujung kaki bidang adalah:

Terlihat bahwa kecepatan benda menggelinding lebih lambat
daripada bila benda tersebut tergelincir (meluncur) tanpa gesekan
yang kecepatannya:

b. Penyelesaian menggunakan kekekalan tenaga mekanik
Pada gerak menggelinding berlaku hukum kekekalan tenaga
mekanik, tenaga mekanik silinder pada kedudukan 1 adalah:
EI = EpI = Mg (h + R)
Sedangkan tenaga mekanik silinder pada kedudukan 2 adalah:
E2 = Ep2 + Ek2 + EkR2
= MgR + 2 2
2
1
2
1 Mv �� I��
Perubahan tenaga mekanik yang terjadi adalah
Wf = ��E = E2 – E1 = Mv2 �� I 2 �� Mgh
2
1
2
1 ��
Karena Wf = 0, maka dengan memasukkan momen inersia silinder I
= 2
2
1 MR dan
R
�� �� v , kecepatan silinder setelah sampai di ujung
kaki bidang miring besarnya adalah: v = gh
3
4
Kegiatan 3. Menerapkan hukum kekelan energi mekanik
1. Silakan ambil sebuah bola sepak dan ukur radius beserta
massanya,
2. Tempatkan bola pada puncak sebuah papan kayu yang miring
(kemiringan 53o terhadap horizontal),
3. Lepaskan bola dari puncak (awalnya diam),
4. Catat waktu yang dibutuhkan bola dari posisi awal hingga
dasar,
5. Jika papan kasar, hitung kecepatan linier dan kecepatan sudut
dari bola ketika mencapai dasar dengan menggunakan analisa
kinematika dan kekekalan energi mekanik.
Tugas 3.
Berapakah kecepatan linier bola pejal beradius 15 cm , massanya 2 kg
jika dilepas pada bidang miring licin dengan kemiringan 53o terhadap
horizontal. Bola dilepas dari ketinggian 4 m.
101
3.5. Hukum Kekekalan Momentum Sudut
Pada gerak rotasi, benda mempunyai besaran yang dinamakan
momentum sudut yang analog pada gerak translasi yang terdapat
besaran momentum linier. Momentum sudut, L, merupakan besaran
vektor dengan besar berupa hasil kali momen inersia, I, dengan
kecepatan sudut ��, yang diformulasikan sebagai berikut:
�� ��
��
L �� I (3.9)
Bila momen gaya eksternal resultan yang bekerja pada suatu
benda tegar sama dengan nol, maka momentum sudut total sistem tetap.
Prinsip ini dikenal sebagai prinsip kekekalan momentum sudut.
Tinjau suatu benda tegar berotasi mengelilingi sumbu z yang tetap,
momentum sudut benda tersebut adalah
LZ �� I��
dengan I adalah momen inersia benda, sedangkan �� adalah kecepatan
sudutnya. Bila tak ada momen gaya eksternal yang bekerja, maka LZ
tetap, sehingga bila I berubah maka �� harus berubah agar efek
perubahannya saling meniadakan. Kekekalan momentum sudut akan
berbentuk:
I �� = Io��o (3.10)
dengan Io dan ��o adalah momen inersia benda dan kecepatan sudut
mula-mula. Prinsip ini sering dipakai oleh penari balet atau peloncat
indah untuk dapat berputar lebih cepat, yaitu dengan mengatur
rentangan tangan maupun kakinya.
Contoh soal 3.5.
Roda pertama berputar pada as (sumbu) dengan kecepatan sudut 810
putaran/menit. Roda kedua mula-mula diam, momen inersianya 2 kali
momen inersia roda pertama. Bila roda ke dua tiba-tiba digabungkan
sesumbu dengan roda pertama, seperti ditunjukkan pada Gambar.
a. berapakah kecepatan sudut dari gabungan ke dua roda?
b. berapakah besarnya tenaga kinetik yang hilang?
Penyelesaian :
102
a. Karena digabungkan sesumbu, kedua roda bergerak dengan
kecepatan sudut yang sama, dan pada gerak rotasi gabungan
tersebut tidak ada momen gaya luar yang bekerja, sehingga berlaku
hukum kekekalan momentum sudut.
Momentum sudut awal = momentum sudut akhir
Misal kecepatan sudut roda pertama mula-mula �� dan kecepatan
sudut gabungan kedua roda adalah ��’ , maka
I�� = 3I��’ �� ��’ =
3
��
Karena frekuensi putaran roda pertama 810 putaran/menit, maka
kecepatan sudut gabungan kedua roda tersebut adalah ��’ = 2�� .
rad / menit
3 b. Tenaga kinetik rotasi gabungan

dengan IT adalah momen inersia gabungan kedua roda, sehingga
tenaga kinetik rotasi yang hilang adalah

yaitu 2/3 dari tenaga kinetik rotasi pertama sebelum digabung.
Contoh soal 3.6
Sebuah benda kecil bermassa m diikatkan diujung tali. Tali diputar
hingga bergerak melingkar pada bidang horizontal dengan jari-jari r1
dan laju v1. Kemudian tali ditarik ke bawah sehingga lingkarannya
menjadi r2 (dengan r2 < r1). Nyatakan laju v2 dan laju putaran ��2
terhadap harga mula-mula v1 dan ��1!
103
Penyelesaian :
Pada saat tangan menarik tali ke
bawah, gaya penariknya (F) berimpit
dengan sumbu putar massa m,
sehingga gaya ini tidak menyebabkan
momen gaya. Karenanya pada kasus
ini berlaku hukum kekekalan
momentum sudut
L1 = L2
mv1r1 = mv2r2
jadi laju v2 adalah v2 = 1

. Dalam bentuk laju putaran, hukum
kekekalan momentum dapat dinyatakan sebagai 2

1 mr �� �� mr �� ,
jadi laju putaran ��2 adalah 1

.
3.6 Kesetimbangan Benda
Dalam subbab ini Anda akan dipelajari kesetimbangan benda
tegar. Kesetimbangan ada dua yaitu kesetimbangan statis (benda dalam
keadaan tetap diam) dan kesetimbangan kinetis (benda dalam keadaan
bergerak lurus beraturan). Benda dalam keadaan kesetimbangan apabila
padanya berlaku ��F �� 0
(tidak bergerak translasi) dan ���� �� 0 (tidak
berotasi). Berikutnya dalam subbab ini apabila tidak dinyatakan, yang
dimaksud kesetimbangan adalah kestimbangan statis (benda tetap diam)
dan supaya mempermudah dalam menyelesaikan masalah
kestimbangan, Anda harus menguasai menggambar diagram gaya
benda bebas dan menghitung torsi terhadap suatu poros oleh setiap
gaya dari diagram gaya benda bebas tersebut.
A. Kesetimbangan Statis Sistem Partikel
Dalam system yang tersusun dari partikel, benda dianggap
sebagai satu titik materi. Semua gaya eksternal yang bekerja pada
system tersebut dianggap bekerja pada titik materi tersebut sehingga
gaya tersebut hanya menyebabkan gerak translasi dan tidak
menyebabkan gerak rotasi. Oleh karena itu kesetimbangan yang berlaku
pada sistem partikel hanyalah kesetimbangan translasi.
Syarat kesetimbangan partikel adalah:

yang meliputi �� �� 0 x F dan �� �� 0 y F (3.11)
dengan : x ��F resultan gaya pada komponen sumbu x
y ��F : resultan gaya pada komponen sumbu y.
Untuk memahami masalah kesetimbangan sistem partikel, silahkan
pelajari studi kasus kesetimbangan berikut:
Benda dengan berat 400 N digantung pada keadaan diam oleh tali-tali
seperti pada Gambar 3.5. Tentukan besar tegangan-tegangan pada
kedua tali penahannya.
Gambar 3.5. Sistem kesetimbangan partikel.
Penyelesaian:
Dari gambar (c ), diperoleh komponen tegangan tali sebagai berikut:
T1x = T1 cos 37o = 0,8T1 T2x= T2 cos 53o = 0,6T2
T1y = T1 sin 37o = 0,6T1 T2y = T2 sin 53o = 0,8T2
Berikutnya kita menggunakan persamaan kesetimbangan statis partikel
dan perhatikan tanda positif untuk arah ke kanan atau atas dan negatif
untuk arah ke kiri atau bawah.
�� �� 0 x F �� �� 0 y F
T2x – T1x = 0 T1y + T2y – W = 0
0,6T2 = 0,8T1 (1) 0,6T1 + 0,8T2 – 400 = 0 (2)
Dengan mensubstitusi nilai T2 dari persamaan (1) ke persamaan (2) kita
dapat nilai tegangan tali T2 = 320 N dan dengan mensubstitusi ke
persamaan (1) diperoleh nilai tegangan tali T1 = 240 N.
105
B. Kesetimbangan Benda Tegar
Suatu benda tegar yang terletak pada bidang datar (bidang XY) berada
dalam keadaan kesetimbangan statis bila memenuhi syarat:
1. Resultan gaya harus nol
��F = 0 yang mencakup ��Fx = 0 dan ��Fy = 0
2. Resultan torsi harus nol
���� = 0
Untuk memahami masalah kesetimbangan benda tegar, tinjau
pemecahan studi kasus berikut ini:
Contoh soal 3.7
Sebuah batang homogen dipasang melalui engsel pada dinding. Pada
jarak d = 2 m diatas engsel diikatkan kawat yang ujung lainnya
dihubungkan dengan ujung batang. Batang membentuk sudut 300
terhadap horisontal, dan pada ujung batang digantungkan beban berat
W2 = 40 N melalui sebuah tali. Jika berat batang adalah W1 = 60 N dan
panjang batang adalah 1 = 3 m, tentukan gaya tegangan dalam kawat
dan gaya yang dilakukan engsel pada batang!
Penyelesaian:
Penguraian gaya yang bekerja pada sistem ditunjukkan pada Gambar.
Dari syarat seimbang �� F �� 0 , bila dinyatakan dalam komponen
vertikal dan horisontalnya berturut-turut diperoleh
�� �� 0 v F : Fv + Tv – W – w = 0, atau
Tv
+ Fv = W + w = 100 N (a)
�� �� 0 h F : Fh – Th = 0, atau Fh = Th (b)
sedangkan dari syarat ���� �� 0, bila momen gaya dihitung terhadap
titip P, hasilnya adalah
Fv(1 cos 300) – Fh (1 sin 300) – W 0
2
1cos300
�� �� ����
��
�� ����
��
Diperoleh
Fv = 0.577 Fh + 30 N (c)
106
Hubungan dalam persamaan (a), (b) dan (c) belum dapat diselesaikan,
karena dari ke tiga persamaan tersebut terdapat empat variabel yang
belum diketahui. Untuk menyelesaikannya tinjau hubungan antara
komponen-komponen tegangan tali T,
Tv = Th tan ��
Karena
tan �� = 0.192
(3 )(0.866)
2 (3 )(0.5)
1cos30
1sin 30
0
0
��
��
��
��
m
d m m
maka Tv = 0.192 Th (d)
bila (d) dimasukkan ke dalam (a) diperoleh
Fv = 100 N – 0.192 Th (e)
Sedangkan (c) dapat dinyatakan dalam
Fv = 0.577 Th + 30N (f )
Dari penyelesaian persamaan (e) dan (f) diperoleh
Th=91 N
Fv = 82.5 N
Dan bila Fv dan Th ini dimasukkan ke dalam (a) dan (b), diperoleh
Tv = 17.5 N
Fh = 91 N
Sehingga besar gaya tegangan tali adalah
T = T T N h v 2 �� 2 �� 92.7
Dan gaya penopang pada engsel adalah
F = F F N h v 2 �� 2 �� 122.83
C. Titik Berat
Definisi dan Cara Menentukan Titik Berat
Titik berat dari suatu benda tegar adalah titik tunggal yang
dilewati oleh resultan dari semua gaya berat dari partikel penyusun
benda tegar tersebut. Titik berat disebut juga dengan pusat gravitasi.
Letak titik berat dari suatu benda secara kuantitatif dapat
ditentukan dengan perhitungan sebagai berikut. Tinjau benda tegar tak
beraturan terletak pada bidang XY seperti Gambar 3.5. Benda tersusun
oleh sejumlah besar partikel dengan berat masing-masing w1, w2, w3,
berada pada koordinat (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3). Tiap partikel
menyumbang torsi terhadap titik O sebagai poros yaitu w1x1, w2x2,
w3x3. Torsi dari berat total benda W dengan absis XG adalah WXG, di
mana torsi ini sama dengan jumlah torsi dari masing-masing partikel
107
penyusun benda tegar. Dengan demikian kita dapat rumusan absis titik
berat sebagai berikut:

dengan cara yang sama diperoleh ordinat titik berat sebagai berikut:

Gambar 3.6. Titik berat sejumlah partikel dari benda tegar
Keidentikan Titik Berat dan Pusat Massa
Gaya berat suatu benda tegar merupakan hasil kali antara massa benda
dengan percepatan gravitasi (w = mg). Untuk itu apabila gaya berat
benda w = mg disubstitusikan ke persamaan 3.12 dan 3.13 akan
diperoleh titik pusat massa (XG,YG) yang identik dengan titik berat.

Kegiatan 4. Menentukan titik pusat massa
1. Ambil sebuah lembar kertas karton dengan ukuran 30 cm x 40
cm,
2. Timbang dan catat massa kertas karton tersebut,
3. Buat perpotongan garis diagonal,
4. Buat garis yang membagi kertas karton menjadi empat bagian
yang sama,
5. Tempatkan acuan titik pusat (0,0) di titik perpotongan diagonal,
6. Secara teoritis tentukan titik pusat massa kertas karton dengan
menggunakan empat luasan bagian kertas yang Anda buat,
7. Buktikan bahwa titik pusat massa kertas karton berada di titik
perpotongan garis diagonal dengan cara ambil sebuah benang
yang diikatkan pada sebarang titik pada kertas karton dan
posisikan kertas menggantung dan setimbang,
8. Amati bahwa posisi benang akan segaris / melewati titik pusat
massa yang berada di perpotongan diagonal.
Tiga massa M1= 5 kg (4,4); M2 = 10 kg (10,4) dan M3 = 5 kg (6,0)
membentuk sistem partikel benda tegar yang dihubungkan
penghubung kaku seperti gambar. Tentukan titik berat dari sistem
partikel tersebut.
109
Tugas 4.
Tentukan titik pusat massa dari selembar seng dengan bentuk sebarang
dengan cara melakukan penyeimbangan dengan benang dan
digantungkan sehingga posisi setimbang. Lakukan pada dua titik ikat
benang berbeda posisi pada seng tersebut. Titik pusat massa ditentukan
dengan melakukan perpotongan perpanjangan garis yang segaris
dengan benang tersebut.
3.7 Rangkuman
1. Pemecahan masalah dinamika rotasi dilakukan dengan
menggunakan Hukum II Newton translasi ��F �� ma
��
dan rotasi
���� �� I�� .
2. Pemecahan masalah dinamika rotasi dapat juga dilakukan
dengan menggunakan Hukum Kekekalan energi mekanik :
E (mekanik) E ( potensial) E (translasi) E (rotasi) M P K K �� �� ��

3. Momen inersia adalah besaran yang merupakan hasil kali
massa dengan kwadrat jarak massa terhadap sumbu rotasi,
untuk system terdiri banyak partikel, momen inersianya
adalah:
4. Dalam dinamika rotasi terdapat besaran momentum sudut,
dimana besarnya perubahan kecepatan momentum sudut yang
terjadi sebanding dengan torsi yang bekerja pada benda yang
berotasi. Jika selama berotasi resultan torsi pada benda sama
dengan nol, maka pada benda berlako kekekalan momentum
sudut, Lo = L’.
5. Kesetimbangan system partikel harus memenuhi syarat
��F �� 0
��
yang meliputi �� �� 0 x F dan �� �� 0 y F , sedang untuk
kesetimbangan benda tegar harus memenuhi syarat resultan
gaya harus nol, ��F = 0 yang mencakup ��Fx = 0 dan ��Fy = 0
dan
Resultan torsi harus nol, ���� = 0.
110
6. Titik berat suatu benda dapat dihitung dengan rumus :

3.8 Soal Kompetensi
1. Pada sebuah roda yang mempunyai momen inersia 8 kg.m2
dikenai torsi pada tepinya sebesar 50 m.N.
(a). Berapakah percepatan sudutnya?
(b). Berapakah lama waktu yang dibutuhkan roda dari diam
sampai roda mempunyai kecepatan sudut 88,4 rad/s?
(c). Berapakah besar energi kinetik roda tersebut pada
kecepatan sudut 88,4 rad/s?
2. Tentukan torsi total dan arahnya terhadap poros O
(perpotongan diagonal) dari persegi empat dengan ukuran20
cm x 40 cm berikut ini:
3.
20 N
30 N
25 N
10 N
M2
Balok M1 = 2 kg, M2 = 1 kg
dihubungkan dengan tali melewati
katrol berupa piringan tipis dengan
massa katrol 1 kg dan radius 20 cm.
Katrol dan tali tidak selip, system
dilepas dari diam. Tentukan
percepatan kedua balok dan energi
kinetik katrol setelah bergerak dalam
waktu 5 s.
111
4. Seorang anak mengelindingkan pipa paralon dengan diameter
20 cm dan panjang 80 cm pada permukaan datar. Tentukan
energi kinetik yang dimiliki paralon tersebut jika massa paralon
1,5 kg.
5. Dari system kesetimbangan berikut tentukan besar tegangan tali
agar system dalam keadaan setimbang.
6. Seorang anak membuat model sebagai berikut:
M1
Batang QR = 120 cm dengan massa 4 kg, massa beban 10 kg
dan sudut QPS = 45o serta QS = 60 cm.
P
Q
R
S
Papan persegi 30 cm x 90 cm, papan bujur sangkar 30 cm x 30
cm dan papan lingkaran berdiameter 30 cm. Massa papan
tersebut berturut-turut 4 kg, 3 kg dan 2 kg, tentukan titik berat
model tersebut. Letakkan pusat koordinat di perpotongan
diagonal papan bujur sangkar.
112
7. Dari sistem partikel berikut tentukan besarnya tegangan
masing-masing tali.
8. Sebutkan syarat kesetimbangan (a). sistem partikel, (b). benda
tegar.
9. Sebuah bola pejal dengan ragius 20 cm dan massa 4 kg dilepas
dari keadaan diam di puncak bidang miring dengan ketinggian
60 cm dan sudut kemiringan 37o terhadap horizontal. Tentukan
percepatan linier dan energi kinetik dari bola ketika sampai di
bidang datar dengan cara menggelinding. Selesaikan dengan
menggunakan hukum kekekalan energi mekanik.
10. Tentukan momen inersia dari system partikel berikut m1 = 2 kg
(2,4); m2 = 4 kg (4,-2); m3 = 3 kg (3, 6), m4 = 4 kg (0,-4) yang
terhubung satu sama lain dengan penghubung kaku tak
bermassa terhadap poros yang melewati pusat koordinat (0,0).

Rotasi Benda Tegar

Benda tegar adalah sistem partikel yang mana posisi relatif partikel-partikelnya,
satu dengan yang lainnya di dalam sistem, (dianggap) tetap. Akibatnya
ketika benda ini berotasi terhadap suatu sumbu tetap, maka jarak setiap
partikel dalam sistem terhadap sumbu rotasi akan selalu tetap. Di sini kita
hanya akan meninjau gerak rotasi dengan sumbu putar yang tetap orientasinya.


Kinematika Rotasi
Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan lingkaran dengan jejari r.
Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu t adalah s terkait dengan
sudut (dalam radian). Hubungan s dan diberikan oleh s = r . Untuk selang waktu yang sangat kecil maka besar kecepatan linier diberikan oleh
ds
dt
= r
d
dt
(6.1)
besaran ! d
dt disebut sebagai kecepatan sudut, yang arahnya diberikan
oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi hubungan
antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh
~v = ~! ×~r. (6.2)
Percepatan sudut didefinisikan sebagai laju perubahan kecepatan sudut
terhadap waktu,

d!
dt
(6.3)
Hubungan antara percepatan linier dan percepatan sudut diberikan oleh
dv
dt
= r
d!
dt
= r (6.4)
dengan arah diberikan oleh arah perubahan !, atau secara vektor
~a = ~ × r. (6.5)

Karena persamaan-persamaan kinematika yang menghubungkan , ! dan
bentuknya sama dengan persamaan-persamaan kinematika gerak linear,
maka dengan memakai analogi ini akan diperoleh kaitan sebagai berikut untuk
keceptan sudut konstan
(t) = 0 + !t (6.6)
dan kaitan-kaitan berikut untuk percepatan sudut konstan
(t) = 0 + !0t + 1
2t2 (6.7)
!(t) = !0 + t (6.8)
!(t)2 = !2
0 + 2 . (6.9)

Dinamika Rotasi

Torka dan momentum sudut
Untuk memudahkan penyelidikan dan analisa terhadap gerak rotasi, didefinisikan
beberapa besaran sebagai analog konsep gaya dan momentum. Pertama
didefinisikan konsep momentum sudut l. Momentum sudut suatu partikel
yang memiliki momentum linear ~p dan berada pada posisi ~r dari suatu
titik referensi O adalah
~l
= ~r × ~p (6.10)
Perlu diperhatikan bahwa nilai l bergantung pada pemilihan titik referensi
O, nilainya dapat berubah bila digunakan titik referensi yang berbeda.
Laju perubahan momentum sudut terhadap waktu didefinisikan sebagai
besaran torka ~
d~l
dt
=
d
dt
(~r × ~p) =
d~r
dt × ~p +~r ×
d~p
dt
(6.11)
karena bentuk
d~r
dt × ~p = ~v × m~v = 0 (6.12)
maka
~ = ~r × ~F =
d~l
dt
. (6.13)


Sistem partikel

Untuk suatu sistem banyak partikel total momentum sudutnya diberikan
oleh
~L
=
X
i
~l
i (6.14)
dengan ~li adalah momentum sudut partikel ke-i. Total torka yang bekerja
pada sistem ini
~ tot =
X
i
d~li
dt
=
X
i
i (6.15)

Torka yang bekerja pada sistem dapat dikelompokkan menjadi dua jenis,
torka internal yang bekerja pada partikel oleh partikel lain dalam sistem,
dan torka eksternal yang berasal dari gaya eksternal. Karena prinsip aksireaksi,
dan bila garis kerja gaya aksi-reaksi tersebut segaris maka total torka
antara dua partikel i dan j
ij + ji = ~ri × ~Fij +~rj × ~Fji = (~ri −~rj) × Fij = 0. (6.16)
Sehingga total torka yang bekerja pada sistem partikel hanyalah torka eksternal,
dan perubahan momentum sudut total sistem hanya bergantung pada
torka eksternal
d~L
dt
= ~ ekst tot (6.17)

Ketika tidak ada torka eksternal maka momentum sudut total sistem akan
konstan.


Energi Kinetik Rotasi

Kita tinjau suatu sistem partikel yang berotasi terhadap suatu sumbu tetap.
Jarak setiap partikel terhadapa sumbu rotasi selalu tetap. Bila sistem partikel
ini adalah benda tegar maka kesemua partikel akan bergerak bersamasama
dengan kecepatan sudut yang sama. Energi kinetik sistem partikel
tersebut adalah
Ek =
1
2
X
i
miv2
i =
1
2
X
i
mir2
i

!2 (6.18)

dengan ri adalah jarak partikel ke i tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Besaran
yang ada dalam tanda kurung didefinisikan sebagai momen inersia I
dari sistem relatif terhadap sumbu rotasi
I =
X
i
mir2
i (6.19)

Bila bendanya kontinum, maka perumusan momen inersianya menjadi
I =
Z
r2? dm (6.20)
dengan r? adalah jarak tegak lurus elemen massa dm ke sumbu putar.

Teorema sumbu sejajar

Tinjau sebuah benda seperti tampak pada gambar di bawah ini
Gambar 6.1: Gambar untuk teorema sumbu sejajar
dengan titik pm adalah titik pusat massanya. Momen inersia benda terhadap
sumbu di titik P dan momen inersia terhadap sumbu yang sejajar
tetapi melalui titik pusat massanya terkait sebagai berikut
IP =
Z
r2? dm =
Z
~r? · ~r?dm (6.21)
tetapi ~r? = ~rpm +~r0 dan
~r? · ~r? = (~rpm +~r0) · (~rpm +~r0) = r2
pm + r02 + 2~rpm · ~r0
sehingga
IP =
Z
(r2
pm + r02 + 2~rpm · ~r0)dm (6.22)
suku pertama tidak lain adalah Mr2
pm (M adalah massa total benda), suku
kedua adalah momen inersia terhadap pusat massa, sedangkan suku ketiga
lenyap (karena tidak lain adalah posisi pusat massa ditinjau dari pusat
massa). Sehingga
IP = Ipm +Mr2
pm (6.23)


Teorema sumbu tegak lurus

Tinjau benda pada gambar di bawah ini
Kita ketahui bahwa
Iz =
Z
r2?dm =
Z
(x2 + y2)dm = Iy + Ix (6.24)
Jadi momen inersia terhadap suatu sumbu sama dengan jumlah momen inersia
terhadap dua sumbu yang saling tegak terhadapnya.


Usaha

Definisi usaha untuk gerak rotasi sama dengan definisi usaha pada gerak
linear. Sebuah partikel diberi gaya ~F. Partikel itu bergerak melingkar dengan
lintasan yang berjejari r, menempuh lintasan sepanjang d~s. Usaha yang
dilakukan gaya ~F tadi adalah
dW = ~F · d~s (6.25)
Tetapi kita dapat menuliskan d~s = d~ ×~r, sehingga
dW = ~F · d~ ×~r = ~r × ~F · d~ = ~ · d~ (6.26)

Tetapi usaha yang dilakukan sama dengan perubahan energi kinetik sehingga
~ · d~ = d(
1
2
I!2) = I!d! (6.27)
dengan d! = dt dan d = !dt maka
~ · ~!dt = I~! · ~dt (6.28)
Maka kita peroleh kaitan
~ = I~ (6.29)
analog dengan hukum Newton kedua.

Gabungan Gerak Translasi dan Rotasi

Tinjau sebuah benda dengan posisi pusat massa ~rpm yang bergerak dengan
kecepatan ~vpm. Misalkan benda ini selain bertranslasi, juga berotasi. Kecepatan
suatu bagian dari benda tadi dapat dituliskan sebagai ~v = ~vpm +~v0,
dengan ~v0 adalah kecepatan relatif terhadap pusat massa. Sehingga energi
kinetik benda tadi
Ek =
1
2
Z
v2dm =
1
2
Z
(~vpm +~v0) · (~vpm +~v0)dm (6.30)

atau dapat dituliskan
1
2
Z
(v2
pm +~v02 + 2~vpm · ~v0)dm (6.31)
suku terakhir lenyap (karena merupakan kecepatan pusat massa dilihat dari
kerangka pusat massa). Sehingga
Ek =
1
2
Mv2
pm + E0kpm (6.32)
dengan E0kpm adalah energi kinetik benda karena gerak relatifnya terhadap
pusat massa. Bila bendanya benda tegar, maka suku terakhir ini adalah
energi kinetik rotasi terhadap pusat massa
Ek =
1
2
Mv2
pm +
1
2
Ipm!2 (6.33)

Kesetimbangan Benda Tegar

Sebuah benda tegar berada dalam keadaan seimbang mekanis bila, relatif
terhadap suatu kerangka acuan inersial
1. Percepatan linier pusat massanya nol.
2. Percepatan sudutnya mengelilingi sembarang sumbu tetap dalam kerangka
acuan ini juga nol.

Persyaratan di atas tidak mengharuskan benda tersebut dalam keadaan diam,
karena persyaratan pertama membolehkan benda bergerak dengan kecepatan
pusat massanya konstan, sedangkan persyaratan kedua membolehkan benda
berotasi dengan kecepatan sudut rotasi yang konstan juga. Bila benda benarbenar
diam (relatif terhadap suatu kerangka acuan), yaitu ketika kecepatan
linier pusat massanya dan kecepatan sudut rotasinya terhadap sembarang
sumbu tetap, bernilai nol keduanya, maka benda tegar tersebut dikatakan
berada dalam keseimbangan statik. Bila suatu benda tegar berada dalam
keadaan seimbang statik, maka kedua persyaratan di atas untuk keseimbangan
mekanik akan menjamin benda tetap dalam keadaan seimbang statik.
Persyaratan pertama ekuivalen dengan persyaratan bahwa total gaya eksternal
yang bekerja pada benda tegar sama dengan nol
~Feks = 0. (6.34)
Sedangkan persyaratan kedua ekuivalen dengan persyaratan bahwa total
torka eksternal yang bekerja pada benda tegar sama dengan nol
~ eks = 0. (6.35)


Jenis-Jenis Keseimbangan

Dalam kasus ini yang akan ditinjau hanyalah keseimbangan benda tegar di
dalam pengaruh gaya eksternal yang konservatif. Karena gayanya adalah
gaya konservatif, maka terdapat hubungan antara gaya yang bekerja dengan
energi potensialnya, misalnya untuk satu arah-x
Fx = −
@U
@x
(6.36)
Keadaan seimbang terjadi ketika nilai Fx = 0, kondisi ini tidak lain adalah
syarat titik ekstrem untuk fungsi energi potensial U(x). Andaikan saja titik
seimbang ini kita pilih sebagai posisi x = 0. Fungsi energi potensial dapat
diekspansikan (sebagai deret pangkat dalam x) di sekitar titik ini
U(x) = U0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . (6.37)
Karena
Fx = −
@U
@x |x=0 = 0 (6.38)
maka a1 = 0. Gaya yang bekerja pada benda ketika digeser dari titik keseimbangannya,
tergantung pada nilai a2,
Fx = −2a2x − 3a3x2 + . . . (6.39)
Untuk nilai x disekitar x = 0, Fx dapat didekati hanya dengan suku pertamanya,
sehingga
Fx −2a2x (6.40)
Bila a2 > 0 maka pergeseran kecil dari titik seimbang, memunculkan gaya
yang mengarahkan kembali ke titik seimbang. Keseimbangan ini disebut
keseimbangan stabil. Bila a2 > 0 maka pergeseran sedikit dari titik seimbang,
memunculkan gaya yang menjauhkan dari titik seimbangnya. Keseimbangan
ini disebut keseimbangan labil. Bila a2 = 0 maka pergeseran sedikit dari titik
seimbang tidak memunculkan gaya. Keseimbangan ini disebut keseimbangan
netral.