Benda tegar

DINAMIKA ROTASI DAN
KESETIMBANGAN BENDA
TEGAR
Benda tegar adalah benda yang dianggap sesuai dengan dimensi ukuran sesungguhnya di mana
jarak antar partikel penyusunnya tetap. Ketika benda tegar mendapatkan gaya luar yang tidak
tepat pada pusat massa, maka selain dimungkinkan gerak translasi benda juga bergerak rotasi
terhadap sumbu rotasinya. Coba Anda amati pergerakan mainan di salah satu taman hiburan
seperti gambar di atas. Para penumpang bisa menikmati putaran yang dilakukan oleh motor
penggerak yang terletak di tengah. Karena gerak rotasinya maka para penumpang mempunyai
energi kinetik rotasi di samping momentum sudut. Di samping itu pula besaran fisis yang lain juga
terkait seperti momen inersia, kecepatan dan percepatan sudut, putaran, serta torsi.

PETA KONSEP
Berubah
waktu
Tetap
Massa Kecepatann
Momentum
Hukum kekekalan
momentum sudut
Jarak ke
titik asal
Momentum
sudut
Kesetimbangan
statis
Syaratnya
resultan gaya
dan torsi nol
BENDA TEGAR
Gerak
translasi
Massa
Posisi,
kecepatan
dan
percepatan
Titik
pusat
massa
Gerak
translasi
& rotasi
Gerak
menggelinding
Titik berat
Gerak
rotasi
Torsi
Percepatan
sudut
Kecepatan
sudut, Posisi
sudut, Titik
Pusat Rotasi,
Momen Inersia
Dapat
bersifat
Hasil kali
Didefinisi
kan sbg
hasil kali
vektor
Jika tak ada gaya luar
berlaku
syaratnya
memiliki
Dapat mengalami
Dikarakterisasi oleh
contohnya
Dikarakterisasi oleh
Disebabkan oleh
Berkaitan dengan
Laju perubahannya terhadap
waktu

Cek Kemampuan Prasyarat
Sebelum Anda mempelajari Sub-bab ini, kerjakan terlebih
dahulu soal-soal berikut ini di buku latihan Anda. Jika Anda
dapat mengerjakan dengan benar, maka akan memudahkan
Anda dalam mempelajari materi di Sub-bab berikutnya.
1. Apa yang dimaksud dengan diagram gaya untuk benda bebas?
2. Tuliskannlah bunyi hukum kekekalan energi mekanik.
3. Gambarkanlah diagram gaya untuk benda bebas yang terdiri
katrol dan balok berikut:
3.1 Dinamika Rotasi
Seperti yang telah Anda pelajari tentang materi dinamika
partikel, di mana suatu benda sebagai obyek pembahasan dianggap
sebagai suatu titik materi mengalami gerak translasi (dapat bergerak
lurus atau melengkung) jika resultan gaya eksternal yang bekerja pada
benda tersebut tidak nol

Untuk menyelesaikan masalah
dinamika partikel, Anda harus menguasai menggambar diagram gaya
untuk benda bebas dan kemudian menggunakan Hukum II Newton

Dalam Sub-bab ini Anda akan mempelajari materi dinamika
rotasi benda tegar. Benda tegar adalah suatu benda dimana partikelpartikel
penyusunnya berjarak tetap antara partikel satu dengan yang
lainnya. Benda tegar sebagai objek pembahasan, ukurannya tidak
diabaikan (tidak dianggap sebagai satu titik pusat materi), di mana
resultan gaya eksternal dapat menyebabkan benda bergerak translasi
dan juga rotasi (berputar terhadap suatu poros tertentu). Gerak rotasi
balok
tali
katrol

disebabkan oleh adanya torsi, yaitu tingkat kecenderungan sebuah
gaya untuk memutar suatu benda tegar terhadap suatu titik poros.
Untuk menyelesaikan masalah dinamika rotasi benda tegar,
Anda harus menguasai menggambar diagram gaya benda bebas,
kemudian menggunakan

untuk benda yang bergerak
translasi dan menggunakan untuk benda yang bergerak rotasi,
dengan I (kg.m2) besaran momen inersia dan percepatan sudut.
Dalam materi dinamika partikel, Anda telah mempelajari dan
menggunakan hukum kekekalan energi mekanik untuk menyelesaikan
masalah gerak translasi dan ternyata dapat terelesaikan dengan lebih
mudah dan cepat dibanding dengan menggunakan analisa dinamika
partikel
. Hal demikian juga berlaku pada pemecahan
masalah gerak rotasi tertentu seperti gerak menggelinding (gabungan
translasi dan rotasi) benda tegar yang menuruni atau mendaki suatu
permukaan bidang miring, dimana penggunaan hukum kekekalan
energi mekanik lebih mudah dan cepat dibanding menggunakan analisa
dinamika rotasi yang menggunakan persamaan
dan Sebelum materi dinamika rotasi, Anda telah mempelajari
hukum kekekalan momentum linier. Dalam Sub-bab ini Anda akan
diperkenalkan dengan materi hukum kekekalan momentum sudut.
Contoh aplikasi hukum ini ditemui pada pada atlit penari es yang
melaukan peningkatan laju putarannya dengan cara menarik kedua
lengannya dari terentang ke merapat badannya.
3.2. Kecepatan dan Percepatan Angular
Dalam membahas materi tentang gerak rotasi Anda harus
terlebih dahulu mempelajari besaran fisis gerak rotasi yaitu pergeseran
sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Besaran pergeseran sudut,
kecepatan sudut dan percepatan sudut selalu dinyatakan dalam bentuk
vektor. Arah pergeseran sudut adalah positif bila gerak rotasi (melingkar atau
berputar) berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan arah
vektornya (seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.1) sejajar dengan
sumbu rotasi (sumbu putar) yaitu arah maju sekrup putar kanan.

Kecepatan sudut didefinisikan sebagai perbandingan pergeseran sudut
dengan waktu tempuh dengan arah kecepatan sudut searah dengan
pergeseran sudut atau searah dengan sumbu putar yaitu:

Sedangkan percepatan sudut didefinisikan sebagai perbandingan
kecepatan sudut dengan waktu tempuh yang dinyatakan sebagai:
pergeseran sudut, radian (rad), t: waktu, sekon (s),
kecepatan sudut (rad/s), : percepatan sudut, (rad/s2).
Dari persamaan (3.2) terlihat bahwa percepatan sudut bergantung
pada perubahan arah kecepatan sudut (kalau sumbu putar arahnya
berubah) dan bergantung pada perubahan besar kecepatan sudut .
Dalam gerak melingkar yang jari-jarinya r dan kecepatan
sudutnya , besar kecepatan linier benda adalah , sedang
arahnya sama dengan arah garis singgung pada lingkaran di titik
dimana benda berada. Kecepatan linier benda dinyatakan sebagai
, yang menunjukkan bahwa arah v tegak lurus baik terhadap
maupun r , yaitu searah dengan arah maju sekrup putar kanan bila
diputar dari ke r seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.2.
Sehingga persamaan gerak melingkar :

Contoh soal 1
Sebuah cakram berputar dengan percepatan sudut konstan 2 rad/s2. Jika
cakram mulai dari keadaan diam berapa putaran dan kelajuan sudutnya
setelah 10 s?
Penyelesaian:
Cakram melakukan gerak melingkar berubah beraturan dengan
percepatan konstan, maka sudut tempuh yang dilakukan
dihitung dengan:

jumlah putaran yang dilakukan cakram adalah
putaran
rad
radx putaran 15,9

Sedangkan kecepatan sudut yang dilakukan cakram dihitung
dengan:

Kegiatan 1. Menghitung kecepatan sudut dan kecepatan linier.
1. Ambil sepeda angin dan posisikan agar roda belakang dapat
berputar dengan baik.
2. Ukur dan catat radius roda,
3. Beri tanda pada “pentil” sebagai acuan obyek pengamatan,
4. Putar roda dan pastikan “pentil” berputar sejauh setengah
putaran (180o) dan catat waktu yang diperlukan dengan
menggunakan stop wacth,
5. Tentukan kecepatan sudut dari pentil tersebut,
6. Tentukan kecepatan linier dari pentil yang dianggap berada
pada tepian roda.
Tugas 1.
Sebuah gerinda dengan radius 15 cm diputar dari keadaan diam
dengan percepatan sudut 2 rad/s2. Jika gerinda berputar selama 10
sekon, tentukan kecepatan sudutnya, kecepatan linier titik di tepi
gerinda, berapa jumlah putaran yang ditempuh gerinda tersebut?
3.3. Torsi dan Momen Inersia
Bila Anda ingin memutar permainan gasing, Anda harus
memuntirnya terlebih dahulu. Pada kasus itu yang menyebabkan gasing
berotasi adalah torsi. Untuk memahami torsi dalam gerak rotasi, Anda
tinjau gambar batang langsing yang diberi poros di salah satu ujungnya
(titik O) dan diberikan gaya F yang membentuk sudut terhadap
horizontal seperti yang ditunjukkan Gambar 3.3.
Gaya F mempunyai komponen ke arah horizontal, dan arah
vertikal F sin sedangkan jarak tegak lurus antara garis kerja sebuah
gaya dengan sumbu rotasi disebut lengan, r. Dari kedua komponen
gaya tersebut yang dapat menyebabkan batang langsing berotasi
terhadap titik poros rotasi adalah komponen gaya F sin, karena
komponen gaya ini yang menimbulkan torsi pada batang sehingga
batang langsing dapat berputar berlawanan dengan arah putaran jarum
jam sedangkan komponen gaya F costidak menyebabkan torsi pada
batang langsing.
Dari hukum ke dua Newton untuk massa yang konstan dapat ditulis:

Jika kedua ruas persamaan (3.3) ini dikalikan secara silang dengan r ,
diperoleh

Besaran skalar dalam persamaan (3.4) didefinisikan sebagai bersaran
momen inersia I, untuk benda tegar yang tersusun dari banyak partikel
dengan masing-masing massa m1, m2, m3, ..., mN dan berjarak tegak
lurus terhadap titik poros masing-masing r1, r2, r3, ..., rN maka momen
inersia sistem partikel tersebut adalah:

Bila suatu benda tegar seperti pada Gambar 3.4 berputar terhadap
sumbu yang tegak lurus bidang gambar melalui titik O, dengan
memandang bahwa benda tegar tersebut tersusun dari jumlahan elemen
kecil massa , maka momen inersia dalam persamaan (3.5) dapat
ditulis sebagai berikut:
Hasil kali sebuah gaya dengan lengannya dinamakan torsi,

dengan sudut antara lengan gaya dengan garis kerja gaya dan arah
torsi searah sekrup diputar kanan.

Gambar 3.4 Benda tegar dengan distribusi massa kontinu yang berputar
terhadap titik o
Apabila elemen massa diambil sangat kecil, maka
bentuk jumlahan dalam persamaan (3.6) dapat diganti dengan bentuk
intergral, jadi momen inersianya adalah:

dengan r adalah jarak elemen massa dm terhadap sumbu putar.
Contoh soal 3.2.
Sebuah batang langsing 1 meter dikenai tiga gaya seperti gambar, bila
poros terletak di salah satu ujung O, tentukan torsi total yang dilakukan
oleh ketiga gaya tersebut pada batang langsing terhadap poros O.
O B C = 30o
F2 sin F2= 10 N
F2 cos
F1= 20 N
F3 = 25 N
94
Penyelesaian:
Gaya (N) Lengan torsi
(m)
Torsi (mN) Arah torsi
F1=20
F2 cos
F2 sin 30o =
5
F3 = 25
OB = 0,5
0
OC = 1
OC = 1
0,5 x 20 =
10
0
1 x 5 = 5
(-1) x 25 = -
25
Berlawanan arah
jarum jam
-
berlawanan arah
jarum jam
searah jarum jam
Jadi momen inersia terhadap poros O adalah (10) + (5) + (-25) = -10
(mN). Tanda negatif menunjukkan arah torsi total berlawanan arah
jarum jam.
Contoh soal 3.3.
Tiga benda kecil massanya masing-masing 0,1 kg, 0,2 kg dan 0,3 kg,
diletakkan berturut-turut pada titik A (0,0) m, B (4,0) m dan C (2,3) m
seperti pada Gambar dan dihubungkan dengan batang tegar yang
massanya diabaikan. Berapakah momen inersia sistem ini bila diputar
terhadap sumbu X ?
Penyelesaian:
Ketiga benda terletak secara diskrit,
maka momen inersia:
I = mA
2
A r + mB
2
B r + mC
2
C r
Mengingat benda A dan B terletak
sepanjang sumbu rotasi, maka rA dan
rB sama dengan nol, sehingga
I = mC
2
C r = (0,3 kg) (3m)2 = 2,7 kg
m2.
95
Tabel 3.1. Momen inersia benda-benda yang sering dikenal
3.3. Pemecahan Masalah Dinamika Rotasi
Untuk memecahkan persoalan dinamika rotasi, apabila di
dalamnya terdapat bagian sistem yang bergerak translasi maka
pemecahannya dapat dilakukan dengan mengambil langkah-langkah
sebagai berikut:
1. Identifikasi benda bagian dari sistem sebagai obyek
pembahasan dan kelompokkan mana yang bergerak translasi
dan yang rotasi.
2. Tentukan sumbu koordinat yang memudahkan untuk
penyelesaian berikutnya.
3. Gambar diagram gaya benda bebas untuk masing-masing
benda.
4. Gunakan persamaan F ma
untuk translasi dan I untuk gerak rotasi.
5. Padukan dua persamaan pada langkah 4 untuk penyelesaian
akhir.
96
Untuk memahami penyelesaian dengan urutan langkah tersebut
di atas, silakan Anda mengimplementasikan pada studi kasus dinamika
rotasi berikut ini:
Contoh soal 3.4.
Benda A massa m (kg) dihubungkan dengan tali pada sebuah roda putar
berjari-jari R dan bermassa M (kg) seperti Gambar . Bila mula-mula
benda A diam pada ketinggian h1 (m) kemudian dilepas sampai pada
ketinggian h2 (m), tentukan tegangan tali dan percepatan linier benda A
sepanjang geraknya.
Penyelesaian :
Analisa rotasi:
Setelah benda A dilepas roda (bagian
sistem yang berotasi) berputar dengan
percepatan sudut , dalam hal ini gaya
penggerak rotasinya adalah gaya
tegangan tali T. Dari hukum kedua
Newton untuk gerak rotasi
dan definisi momen inersia roda
terhadap sumbunya I =
,
2
1 MR2 diperoleh 2

TxR 1 MR
Karena T tegak lurus R, maka bila
ditulis dalam bentuk skalar menjadi
TR sin 900 = 2

1 MR
Analisis translasi:
Benda A merupakan bagian system yang bertranslasi, percepatan
linier benda A sama dengan percepatan linier roda, yaitu a = R,
sehingga gaya tegangan tali dapat dinyatakan dalam:
T = Ma


Sepanjang gerakan benda A berlaku hukum ke dua Newton :
mg – T = ma
sehingga dengan memasukkan harga T, maka besaran percepatan
linier benda A, percepatan sudut roda dan gaya tegangan tali
berturut-turut dapat dinyatakan sebagai

Kegiatan 2. Menghitung percepatan linier dan sudut, tegangan tali.
1. Ambil katrol dan tali, susunlah membentuk system mekanik
dimana di kedua ujung tali diberi dua ember yang sama,
2. Isi masing-masing ember dengan air, 2 kg dan 4 kg,
3. Posisikan system awalnya diam setimbang dengan posisi kedua
ember sama tinggi,
4. Dari keadaan setimbang, kedua ember dilepas,
5. Ukur radius katrol, massa katrol dan hitung momen inersianya,
6. Dengan stop watch, catat waktu yang dibutuhkan ketika salah
satu ember menempuh 50 cm,
7. Dengan analisa kinematika translasi dan rotasi, hitung
percepatan linier ember, tegangan tali dan percepatan sudut
katrol.
Tugas 2.
Seorang siswa mengamati seorang pekerja bangunan yang sedang mengangkat
benda balok 40 kg ke atas lantai 2 setinggi 3 m dari lantai dasar dengan
menggunakan “krane” /sistem katrol. Jika radius katrol 25 cm dan benda
sampai di lantai 2 dalam waktu 3 sekon, hitung percepatan sudut katrol dan
tegangan tali. Percepatan benda bergerak ke atas 1 m/s.
3.4. Pemecahan Masalah Dinamika Rotasi dengan Hukum
Kekekalan Energi Mekanik
Anda telah mencoba mengimplementasikan pemecahan
masalah dinamika rotasi dengan menggunakan hukum II Newton
��F �� ma dan ���� �� I�� . Perlu Anda ingat pula bahwa masalah

dinamika translasi dapat juga diselesaikan secara mudah dan cepat
dengan hukum kekekalan energi mekanik, demikian juga secara analogi
masalah dinamika rotasi dapat juga diselesaikan dengan menggunakan
hukum kekekalan energi mekanik. Pada bagian ini kita akan
mempelajari cara pemecahan masalah dinamika rotasi berupa gerak
menggelinding dengan menggunakan hukum kekekalan energi
mekanik.
Gerak menggelinding adalah suatu gerak dari benda tegar yang
melakukan gerak translasi sekaligus melakukan gerak rotasi. Benda
tegar yang melakukan gerak menggelinding maka selama gerakan
berlaku hukum kekekalan energi mekanik, yang diformulasikan sebagai
berikut:
E (mekanik) E ( potensial) E (translasi) E (rotasi) M P K K

Energi kinetik translasi dihitung berdasarkan asumsi bahwa benda
adalah suatu partikel yang kelajuan liniernya sama dengan kelajuan
pusat massa sedangkan energi kinetik rotasi dihitung berdasarkan
asumsi bahwa benda tegar berotasi terhadap poros yang melewati pusat
massa.
Sekarang Anda implementasikan pada masalah gerak
menggelinding dari silinder pejal pada lintasan miring dengan dua cara
sekaligus berikut ini:
Contoh soal 3.4.
Sebuah silinder pejal bermassa M dan berjari-jari R diletakkan pada
bidang miring dengan kemiringan �� terhadap bidang horisontal yang
mempunyai kekasaran tertentu. Setelah dilepas silinder tersebut
menggelinding, tentukan kecepatan silinder setelah sampai di kaki
bidang miring!
Cara penyelesaiannya:
99
Persoalan ini dapat diselesaikan menggunakan konsep dinamika atau
menggunakan hukum kekekalan tenaga mekanik.
a. Penyelesaian secara dinamika
Silinder menggelinding karena bidang miring mempunyai tingkat
kekasaran tertentu. Momen gaya terhadap sumbu putar yang
menyebabkan silinder berotasi dengan percepatan sudut ��
ditimbulkan oleh gaya gesek f, yang dapat ditentukan melalui
fR = I��
karena momen inersia silinder terhadap sumbunya adalah I =


1 MR dan percepatan linier a = ��R, maka gaya gesek dapat
dinyatakan sebagai


Pada gerak menggelinding tersebut pusat massa silinder bergerak
translasi, sehingga berlaku hukum kedua Newton.
Mg sin �� – f = Ma
Setelah memasukkan harga f di atas dapat diketahui percepatan
linier silinder, yaitu a = sin��
Dengan menggunakan hubungan v2 = v2
0 + 2 as, dan mengingat
kecepatan silinder saat terlepas vo = 0 dan h = s sin ��, maka
kecepatan silinder setelah sampai di ujung kaki bidang adalah:

Terlihat bahwa kecepatan benda menggelinding lebih lambat
daripada bila benda tersebut tergelincir (meluncur) tanpa gesekan
yang kecepatannya:

b. Penyelesaian menggunakan kekekalan tenaga mekanik
Pada gerak menggelinding berlaku hukum kekekalan tenaga
mekanik, tenaga mekanik silinder pada kedudukan 1 adalah:
EI = EpI = Mg (h + R)
Sedangkan tenaga mekanik silinder pada kedudukan 2 adalah:
E2 = Ep2 + Ek2 + EkR2
= MgR + 2 2
2
1
2
1 Mv �� I��
Perubahan tenaga mekanik yang terjadi adalah
Wf = ��E = E2 – E1 = Mv2 �� I 2 �� Mgh
2
1
2
1 ��
Karena Wf = 0, maka dengan memasukkan momen inersia silinder I
= 2
2
1 MR dan
R
�� �� v , kecepatan silinder setelah sampai di ujung
kaki bidang miring besarnya adalah: v = gh
3
4
Kegiatan 3. Menerapkan hukum kekelan energi mekanik
1. Silakan ambil sebuah bola sepak dan ukur radius beserta
massanya,
2. Tempatkan bola pada puncak sebuah papan kayu yang miring
(kemiringan 53o terhadap horizontal),
3. Lepaskan bola dari puncak (awalnya diam),
4. Catat waktu yang dibutuhkan bola dari posisi awal hingga
dasar,
5. Jika papan kasar, hitung kecepatan linier dan kecepatan sudut
dari bola ketika mencapai dasar dengan menggunakan analisa
kinematika dan kekekalan energi mekanik.
Tugas 3.
Berapakah kecepatan linier bola pejal beradius 15 cm , massanya 2 kg
jika dilepas pada bidang miring licin dengan kemiringan 53o terhadap
horizontal. Bola dilepas dari ketinggian 4 m.
101
3.5. Hukum Kekekalan Momentum Sudut
Pada gerak rotasi, benda mempunyai besaran yang dinamakan
momentum sudut yang analog pada gerak translasi yang terdapat
besaran momentum linier. Momentum sudut, L, merupakan besaran
vektor dengan besar berupa hasil kali momen inersia, I, dengan
kecepatan sudut ��, yang diformulasikan sebagai berikut:
�� ��
��
L �� I (3.9)
Bila momen gaya eksternal resultan yang bekerja pada suatu
benda tegar sama dengan nol, maka momentum sudut total sistem tetap.
Prinsip ini dikenal sebagai prinsip kekekalan momentum sudut.
Tinjau suatu benda tegar berotasi mengelilingi sumbu z yang tetap,
momentum sudut benda tersebut adalah
LZ �� I��
dengan I adalah momen inersia benda, sedangkan �� adalah kecepatan
sudutnya. Bila tak ada momen gaya eksternal yang bekerja, maka LZ
tetap, sehingga bila I berubah maka �� harus berubah agar efek
perubahannya saling meniadakan. Kekekalan momentum sudut akan
berbentuk:
I �� = Io��o (3.10)
dengan Io dan ��o adalah momen inersia benda dan kecepatan sudut
mula-mula. Prinsip ini sering dipakai oleh penari balet atau peloncat
indah untuk dapat berputar lebih cepat, yaitu dengan mengatur
rentangan tangan maupun kakinya.
Contoh soal 3.5.
Roda pertama berputar pada as (sumbu) dengan kecepatan sudut 810
putaran/menit. Roda kedua mula-mula diam, momen inersianya 2 kali
momen inersia roda pertama. Bila roda ke dua tiba-tiba digabungkan
sesumbu dengan roda pertama, seperti ditunjukkan pada Gambar.
a. berapakah kecepatan sudut dari gabungan ke dua roda?
b. berapakah besarnya tenaga kinetik yang hilang?
Penyelesaian :
102
a. Karena digabungkan sesumbu, kedua roda bergerak dengan
kecepatan sudut yang sama, dan pada gerak rotasi gabungan
tersebut tidak ada momen gaya luar yang bekerja, sehingga berlaku
hukum kekekalan momentum sudut.
Momentum sudut awal = momentum sudut akhir
Misal kecepatan sudut roda pertama mula-mula �� dan kecepatan
sudut gabungan kedua roda adalah ��’ , maka
I�� = 3I��’ �� ��’ =
3
��
Karena frekuensi putaran roda pertama 810 putaran/menit, maka
kecepatan sudut gabungan kedua roda tersebut adalah ��’ = 2�� .
rad / menit
3 b. Tenaga kinetik rotasi gabungan

dengan IT adalah momen inersia gabungan kedua roda, sehingga
tenaga kinetik rotasi yang hilang adalah

yaitu 2/3 dari tenaga kinetik rotasi pertama sebelum digabung.
Contoh soal 3.6
Sebuah benda kecil bermassa m diikatkan diujung tali. Tali diputar
hingga bergerak melingkar pada bidang horizontal dengan jari-jari r1
dan laju v1. Kemudian tali ditarik ke bawah sehingga lingkarannya
menjadi r2 (dengan r2 < r1). Nyatakan laju v2 dan laju putaran ��2
terhadap harga mula-mula v1 dan ��1!
103
Penyelesaian :
Pada saat tangan menarik tali ke
bawah, gaya penariknya (F) berimpit
dengan sumbu putar massa m,
sehingga gaya ini tidak menyebabkan
momen gaya. Karenanya pada kasus
ini berlaku hukum kekekalan
momentum sudut
L1 = L2
mv1r1 = mv2r2
jadi laju v2 adalah v2 = 1

. Dalam bentuk laju putaran, hukum
kekekalan momentum dapat dinyatakan sebagai 2

1 mr �� �� mr �� ,
jadi laju putaran ��2 adalah 1

.
3.6 Kesetimbangan Benda
Dalam subbab ini Anda akan dipelajari kesetimbangan benda
tegar. Kesetimbangan ada dua yaitu kesetimbangan statis (benda dalam
keadaan tetap diam) dan kesetimbangan kinetis (benda dalam keadaan
bergerak lurus beraturan). Benda dalam keadaan kesetimbangan apabila
padanya berlaku ��F �� 0
(tidak bergerak translasi) dan ���� �� 0 (tidak
berotasi). Berikutnya dalam subbab ini apabila tidak dinyatakan, yang
dimaksud kesetimbangan adalah kestimbangan statis (benda tetap diam)
dan supaya mempermudah dalam menyelesaikan masalah
kestimbangan, Anda harus menguasai menggambar diagram gaya
benda bebas dan menghitung torsi terhadap suatu poros oleh setiap
gaya dari diagram gaya benda bebas tersebut.
A. Kesetimbangan Statis Sistem Partikel
Dalam system yang tersusun dari partikel, benda dianggap
sebagai satu titik materi. Semua gaya eksternal yang bekerja pada
system tersebut dianggap bekerja pada titik materi tersebut sehingga
gaya tersebut hanya menyebabkan gerak translasi dan tidak
menyebabkan gerak rotasi. Oleh karena itu kesetimbangan yang berlaku
pada sistem partikel hanyalah kesetimbangan translasi.
Syarat kesetimbangan partikel adalah:

yang meliputi �� �� 0 x F dan �� �� 0 y F (3.11)
dengan : x ��F resultan gaya pada komponen sumbu x
y ��F : resultan gaya pada komponen sumbu y.
Untuk memahami masalah kesetimbangan sistem partikel, silahkan
pelajari studi kasus kesetimbangan berikut:
Benda dengan berat 400 N digantung pada keadaan diam oleh tali-tali
seperti pada Gambar 3.5. Tentukan besar tegangan-tegangan pada
kedua tali penahannya.
Gambar 3.5. Sistem kesetimbangan partikel.
Penyelesaian:
Dari gambar (c ), diperoleh komponen tegangan tali sebagai berikut:
T1x = T1 cos 37o = 0,8T1 T2x= T2 cos 53o = 0,6T2
T1y = T1 sin 37o = 0,6T1 T2y = T2 sin 53o = 0,8T2
Berikutnya kita menggunakan persamaan kesetimbangan statis partikel
dan perhatikan tanda positif untuk arah ke kanan atau atas dan negatif
untuk arah ke kiri atau bawah.
�� �� 0 x F �� �� 0 y F
T2x – T1x = 0 T1y + T2y – W = 0
0,6T2 = 0,8T1 (1) 0,6T1 + 0,8T2 – 400 = 0 (2)
Dengan mensubstitusi nilai T2 dari persamaan (1) ke persamaan (2) kita
dapat nilai tegangan tali T2 = 320 N dan dengan mensubstitusi ke
persamaan (1) diperoleh nilai tegangan tali T1 = 240 N.
105
B. Kesetimbangan Benda Tegar
Suatu benda tegar yang terletak pada bidang datar (bidang XY) berada
dalam keadaan kesetimbangan statis bila memenuhi syarat:
1. Resultan gaya harus nol
��F = 0 yang mencakup ��Fx = 0 dan ��Fy = 0
2. Resultan torsi harus nol
���� = 0
Untuk memahami masalah kesetimbangan benda tegar, tinjau
pemecahan studi kasus berikut ini:
Contoh soal 3.7
Sebuah batang homogen dipasang melalui engsel pada dinding. Pada
jarak d = 2 m diatas engsel diikatkan kawat yang ujung lainnya
dihubungkan dengan ujung batang. Batang membentuk sudut 300
terhadap horisontal, dan pada ujung batang digantungkan beban berat
W2 = 40 N melalui sebuah tali. Jika berat batang adalah W1 = 60 N dan
panjang batang adalah 1 = 3 m, tentukan gaya tegangan dalam kawat
dan gaya yang dilakukan engsel pada batang!
Penyelesaian:
Penguraian gaya yang bekerja pada sistem ditunjukkan pada Gambar.
Dari syarat seimbang �� F �� 0 , bila dinyatakan dalam komponen
vertikal dan horisontalnya berturut-turut diperoleh
�� �� 0 v F : Fv + Tv – W – w = 0, atau
Tv
+ Fv = W + w = 100 N (a)
�� �� 0 h F : Fh – Th = 0, atau Fh = Th (b)
sedangkan dari syarat ���� �� 0, bila momen gaya dihitung terhadap
titip P, hasilnya adalah
Fv(1 cos 300) – Fh (1 sin 300) – W 0
2
1cos300
�� �� ����
��
�� ����
��
Diperoleh
Fv = 0.577 Fh + 30 N (c)
106
Hubungan dalam persamaan (a), (b) dan (c) belum dapat diselesaikan,
karena dari ke tiga persamaan tersebut terdapat empat variabel yang
belum diketahui. Untuk menyelesaikannya tinjau hubungan antara
komponen-komponen tegangan tali T,
Tv = Th tan ��
Karena
tan �� = 0.192
(3 )(0.866)
2 (3 )(0.5)
1cos30
1sin 30
0
0
��
��
��
��
m
d m m
maka Tv = 0.192 Th (d)
bila (d) dimasukkan ke dalam (a) diperoleh
Fv = 100 N – 0.192 Th (e)
Sedangkan (c) dapat dinyatakan dalam
Fv = 0.577 Th + 30N (f )
Dari penyelesaian persamaan (e) dan (f) diperoleh
Th=91 N
Fv = 82.5 N
Dan bila Fv dan Th ini dimasukkan ke dalam (a) dan (b), diperoleh
Tv = 17.5 N
Fh = 91 N
Sehingga besar gaya tegangan tali adalah
T = T T N h v 2 �� 2 �� 92.7
Dan gaya penopang pada engsel adalah
F = F F N h v 2 �� 2 �� 122.83
C. Titik Berat
Definisi dan Cara Menentukan Titik Berat
Titik berat dari suatu benda tegar adalah titik tunggal yang
dilewati oleh resultan dari semua gaya berat dari partikel penyusun
benda tegar tersebut. Titik berat disebut juga dengan pusat gravitasi.
Letak titik berat dari suatu benda secara kuantitatif dapat
ditentukan dengan perhitungan sebagai berikut. Tinjau benda tegar tak
beraturan terletak pada bidang XY seperti Gambar 3.5. Benda tersusun
oleh sejumlah besar partikel dengan berat masing-masing w1, w2, w3,
berada pada koordinat (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3). Tiap partikel
menyumbang torsi terhadap titik O sebagai poros yaitu w1x1, w2x2,
w3x3. Torsi dari berat total benda W dengan absis XG adalah WXG, di
mana torsi ini sama dengan jumlah torsi dari masing-masing partikel
107
penyusun benda tegar. Dengan demikian kita dapat rumusan absis titik
berat sebagai berikut:

dengan cara yang sama diperoleh ordinat titik berat sebagai berikut:

Gambar 3.6. Titik berat sejumlah partikel dari benda tegar
Keidentikan Titik Berat dan Pusat Massa
Gaya berat suatu benda tegar merupakan hasil kali antara massa benda
dengan percepatan gravitasi (w = mg). Untuk itu apabila gaya berat
benda w = mg disubstitusikan ke persamaan 3.12 dan 3.13 akan
diperoleh titik pusat massa (XG,YG) yang identik dengan titik berat.

Kegiatan 4. Menentukan titik pusat massa
1. Ambil sebuah lembar kertas karton dengan ukuran 30 cm x 40
cm,
2. Timbang dan catat massa kertas karton tersebut,
3. Buat perpotongan garis diagonal,
4. Buat garis yang membagi kertas karton menjadi empat bagian
yang sama,
5. Tempatkan acuan titik pusat (0,0) di titik perpotongan diagonal,
6. Secara teoritis tentukan titik pusat massa kertas karton dengan
menggunakan empat luasan bagian kertas yang Anda buat,
7. Buktikan bahwa titik pusat massa kertas karton berada di titik
perpotongan garis diagonal dengan cara ambil sebuah benang
yang diikatkan pada sebarang titik pada kertas karton dan
posisikan kertas menggantung dan setimbang,
8. Amati bahwa posisi benang akan segaris / melewati titik pusat
massa yang berada di perpotongan diagonal.
Tiga massa M1= 5 kg (4,4); M2 = 10 kg (10,4) dan M3 = 5 kg (6,0)
membentuk sistem partikel benda tegar yang dihubungkan
penghubung kaku seperti gambar. Tentukan titik berat dari sistem
partikel tersebut.
109
Tugas 4.
Tentukan titik pusat massa dari selembar seng dengan bentuk sebarang
dengan cara melakukan penyeimbangan dengan benang dan
digantungkan sehingga posisi setimbang. Lakukan pada dua titik ikat
benang berbeda posisi pada seng tersebut. Titik pusat massa ditentukan
dengan melakukan perpotongan perpanjangan garis yang segaris
dengan benang tersebut.
3.7 Rangkuman
1. Pemecahan masalah dinamika rotasi dilakukan dengan
menggunakan Hukum II Newton translasi ��F �� ma
��
dan rotasi
���� �� I�� .
2. Pemecahan masalah dinamika rotasi dapat juga dilakukan
dengan menggunakan Hukum Kekekalan energi mekanik :
E (mekanik) E ( potensial) E (translasi) E (rotasi) M P K K �� �� ��

3. Momen inersia adalah besaran yang merupakan hasil kali
massa dengan kwadrat jarak massa terhadap sumbu rotasi,
untuk system terdiri banyak partikel, momen inersianya
adalah:
4. Dalam dinamika rotasi terdapat besaran momentum sudut,
dimana besarnya perubahan kecepatan momentum sudut yang
terjadi sebanding dengan torsi yang bekerja pada benda yang
berotasi. Jika selama berotasi resultan torsi pada benda sama
dengan nol, maka pada benda berlako kekekalan momentum
sudut, Lo = L’.
5. Kesetimbangan system partikel harus memenuhi syarat
��F �� 0
��
yang meliputi �� �� 0 x F dan �� �� 0 y F , sedang untuk
kesetimbangan benda tegar harus memenuhi syarat resultan
gaya harus nol, ��F = 0 yang mencakup ��Fx = 0 dan ��Fy = 0
dan
Resultan torsi harus nol, ���� = 0.
110
6. Titik berat suatu benda dapat dihitung dengan rumus :

3.8 Soal Kompetensi
1. Pada sebuah roda yang mempunyai momen inersia 8 kg.m2
dikenai torsi pada tepinya sebesar 50 m.N.
(a). Berapakah percepatan sudutnya?
(b). Berapakah lama waktu yang dibutuhkan roda dari diam
sampai roda mempunyai kecepatan sudut 88,4 rad/s?
(c). Berapakah besar energi kinetik roda tersebut pada
kecepatan sudut 88,4 rad/s?
2. Tentukan torsi total dan arahnya terhadap poros O
(perpotongan diagonal) dari persegi empat dengan ukuran20
cm x 40 cm berikut ini:
3.
20 N
30 N
25 N
10 N
M2
Balok M1 = 2 kg, M2 = 1 kg
dihubungkan dengan tali melewati
katrol berupa piringan tipis dengan
massa katrol 1 kg dan radius 20 cm.
Katrol dan tali tidak selip, system
dilepas dari diam. Tentukan
percepatan kedua balok dan energi
kinetik katrol setelah bergerak dalam
waktu 5 s.
111
4. Seorang anak mengelindingkan pipa paralon dengan diameter
20 cm dan panjang 80 cm pada permukaan datar. Tentukan
energi kinetik yang dimiliki paralon tersebut jika massa paralon
1,5 kg.
5. Dari system kesetimbangan berikut tentukan besar tegangan tali
agar system dalam keadaan setimbang.
6. Seorang anak membuat model sebagai berikut:
M1
Batang QR = 120 cm dengan massa 4 kg, massa beban 10 kg
dan sudut QPS = 45o serta QS = 60 cm.
P
Q
R
S
Papan persegi 30 cm x 90 cm, papan bujur sangkar 30 cm x 30
cm dan papan lingkaran berdiameter 30 cm. Massa papan
tersebut berturut-turut 4 kg, 3 kg dan 2 kg, tentukan titik berat
model tersebut. Letakkan pusat koordinat di perpotongan
diagonal papan bujur sangkar.
112
7. Dari sistem partikel berikut tentukan besarnya tegangan
masing-masing tali.
8. Sebutkan syarat kesetimbangan (a). sistem partikel, (b). benda
tegar.
9. Sebuah bola pejal dengan ragius 20 cm dan massa 4 kg dilepas
dari keadaan diam di puncak bidang miring dengan ketinggian
60 cm dan sudut kemiringan 37o terhadap horizontal. Tentukan
percepatan linier dan energi kinetik dari bola ketika sampai di
bidang datar dengan cara menggelinding. Selesaikan dengan
menggunakan hukum kekekalan energi mekanik.
10. Tentukan momen inersia dari system partikel berikut m1 = 2 kg
(2,4); m2 = 4 kg (4,-2); m3 = 3 kg (3, 6), m4 = 4 kg (0,-4) yang
terhubung satu sama lain dengan penghubung kaku tak
bermassa terhadap poros yang melewati pusat koordinat (0,0).

Rotasi Benda Tegar

Benda tegar adalah sistem partikel yang mana posisi relatif partikel-partikelnya,
satu dengan yang lainnya di dalam sistem, (dianggap) tetap. Akibatnya
ketika benda ini berotasi terhadap suatu sumbu tetap, maka jarak setiap
partikel dalam sistem terhadap sumbu rotasi akan selalu tetap. Di sini kita
hanya akan meninjau gerak rotasi dengan sumbu putar yang tetap orientasinya.


Kinematika Rotasi
Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan lingkaran dengan jejari r.
Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu t adalah s terkait dengan
sudut (dalam radian). Hubungan s dan diberikan oleh s = r . Untuk selang waktu yang sangat kecil maka besar kecepatan linier diberikan oleh
ds
dt
= r
d
dt
(6.1)
besaran ! d
dt disebut sebagai kecepatan sudut, yang arahnya diberikan
oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi hubungan
antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh
~v = ~! ×~r. (6.2)
Percepatan sudut didefinisikan sebagai laju perubahan kecepatan sudut
terhadap waktu,

d!
dt
(6.3)
Hubungan antara percepatan linier dan percepatan sudut diberikan oleh
dv
dt
= r
d!
dt
= r (6.4)
dengan arah diberikan oleh arah perubahan !, atau secara vektor
~a = ~ × r. (6.5)

Karena persamaan-persamaan kinematika yang menghubungkan , ! dan
bentuknya sama dengan persamaan-persamaan kinematika gerak linear,
maka dengan memakai analogi ini akan diperoleh kaitan sebagai berikut untuk
keceptan sudut konstan
(t) = 0 + !t (6.6)
dan kaitan-kaitan berikut untuk percepatan sudut konstan
(t) = 0 + !0t + 1
2t2 (6.7)
!(t) = !0 + t (6.8)
!(t)2 = !2
0 + 2 . (6.9)

Dinamika Rotasi

Torka dan momentum sudut
Untuk memudahkan penyelidikan dan analisa terhadap gerak rotasi, didefinisikan
beberapa besaran sebagai analog konsep gaya dan momentum. Pertama
didefinisikan konsep momentum sudut l. Momentum sudut suatu partikel
yang memiliki momentum linear ~p dan berada pada posisi ~r dari suatu
titik referensi O adalah
~l
= ~r × ~p (6.10)
Perlu diperhatikan bahwa nilai l bergantung pada pemilihan titik referensi
O, nilainya dapat berubah bila digunakan titik referensi yang berbeda.
Laju perubahan momentum sudut terhadap waktu didefinisikan sebagai
besaran torka ~
d~l
dt
=
d
dt
(~r × ~p) =
d~r
dt × ~p +~r ×
d~p
dt
(6.11)
karena bentuk
d~r
dt × ~p = ~v × m~v = 0 (6.12)
maka
~ = ~r × ~F =
d~l
dt
. (6.13)


Sistem partikel

Untuk suatu sistem banyak partikel total momentum sudutnya diberikan
oleh
~L
=
X
i
~l
i (6.14)
dengan ~li adalah momentum sudut partikel ke-i. Total torka yang bekerja
pada sistem ini
~ tot =
X
i
d~li
dt
=
X
i
i (6.15)

Torka yang bekerja pada sistem dapat dikelompokkan menjadi dua jenis,
torka internal yang bekerja pada partikel oleh partikel lain dalam sistem,
dan torka eksternal yang berasal dari gaya eksternal. Karena prinsip aksireaksi,
dan bila garis kerja gaya aksi-reaksi tersebut segaris maka total torka
antara dua partikel i dan j
ij + ji = ~ri × ~Fij +~rj × ~Fji = (~ri −~rj) × Fij = 0. (6.16)
Sehingga total torka yang bekerja pada sistem partikel hanyalah torka eksternal,
dan perubahan momentum sudut total sistem hanya bergantung pada
torka eksternal
d~L
dt
= ~ ekst tot (6.17)

Ketika tidak ada torka eksternal maka momentum sudut total sistem akan
konstan.


Energi Kinetik Rotasi

Kita tinjau suatu sistem partikel yang berotasi terhadap suatu sumbu tetap.
Jarak setiap partikel terhadapa sumbu rotasi selalu tetap. Bila sistem partikel
ini adalah benda tegar maka kesemua partikel akan bergerak bersamasama
dengan kecepatan sudut yang sama. Energi kinetik sistem partikel
tersebut adalah
Ek =
1
2
X
i
miv2
i =
1
2
X
i
mir2
i

!2 (6.18)

dengan ri adalah jarak partikel ke i tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Besaran
yang ada dalam tanda kurung didefinisikan sebagai momen inersia I
dari sistem relatif terhadap sumbu rotasi
I =
X
i
mir2
i (6.19)

Bila bendanya kontinum, maka perumusan momen inersianya menjadi
I =
Z
r2? dm (6.20)
dengan r? adalah jarak tegak lurus elemen massa dm ke sumbu putar.

Teorema sumbu sejajar

Tinjau sebuah benda seperti tampak pada gambar di bawah ini
Gambar 6.1: Gambar untuk teorema sumbu sejajar
dengan titik pm adalah titik pusat massanya. Momen inersia benda terhadap
sumbu di titik P dan momen inersia terhadap sumbu yang sejajar
tetapi melalui titik pusat massanya terkait sebagai berikut
IP =
Z
r2? dm =
Z
~r? · ~r?dm (6.21)
tetapi ~r? = ~rpm +~r0 dan
~r? · ~r? = (~rpm +~r0) · (~rpm +~r0) = r2
pm + r02 + 2~rpm · ~r0
sehingga
IP =
Z
(r2
pm + r02 + 2~rpm · ~r0)dm (6.22)
suku pertama tidak lain adalah Mr2
pm (M adalah massa total benda), suku
kedua adalah momen inersia terhadap pusat massa, sedangkan suku ketiga
lenyap (karena tidak lain adalah posisi pusat massa ditinjau dari pusat
massa). Sehingga
IP = Ipm +Mr2
pm (6.23)


Teorema sumbu tegak lurus

Tinjau benda pada gambar di bawah ini
Kita ketahui bahwa
Iz =
Z
r2?dm =
Z
(x2 + y2)dm = Iy + Ix (6.24)
Jadi momen inersia terhadap suatu sumbu sama dengan jumlah momen inersia
terhadap dua sumbu yang saling tegak terhadapnya.


Usaha

Definisi usaha untuk gerak rotasi sama dengan definisi usaha pada gerak
linear. Sebuah partikel diberi gaya ~F. Partikel itu bergerak melingkar dengan
lintasan yang berjejari r, menempuh lintasan sepanjang d~s. Usaha yang
dilakukan gaya ~F tadi adalah
dW = ~F · d~s (6.25)
Tetapi kita dapat menuliskan d~s = d~ ×~r, sehingga
dW = ~F · d~ ×~r = ~r × ~F · d~ = ~ · d~ (6.26)

Tetapi usaha yang dilakukan sama dengan perubahan energi kinetik sehingga
~ · d~ = d(
1
2
I!2) = I!d! (6.27)
dengan d! = dt dan d = !dt maka
~ · ~!dt = I~! · ~dt (6.28)
Maka kita peroleh kaitan
~ = I~ (6.29)
analog dengan hukum Newton kedua.

Gabungan Gerak Translasi dan Rotasi

Tinjau sebuah benda dengan posisi pusat massa ~rpm yang bergerak dengan
kecepatan ~vpm. Misalkan benda ini selain bertranslasi, juga berotasi. Kecepatan
suatu bagian dari benda tadi dapat dituliskan sebagai ~v = ~vpm +~v0,
dengan ~v0 adalah kecepatan relatif terhadap pusat massa. Sehingga energi
kinetik benda tadi
Ek =
1
2
Z
v2dm =
1
2
Z
(~vpm +~v0) · (~vpm +~v0)dm (6.30)

atau dapat dituliskan
1
2
Z
(v2
pm +~v02 + 2~vpm · ~v0)dm (6.31)
suku terakhir lenyap (karena merupakan kecepatan pusat massa dilihat dari
kerangka pusat massa). Sehingga
Ek =
1
2
Mv2
pm + E0kpm (6.32)
dengan E0kpm adalah energi kinetik benda karena gerak relatifnya terhadap
pusat massa. Bila bendanya benda tegar, maka suku terakhir ini adalah
energi kinetik rotasi terhadap pusat massa
Ek =
1
2
Mv2
pm +
1
2
Ipm!2 (6.33)

Kesetimbangan Benda Tegar

Sebuah benda tegar berada dalam keadaan seimbang mekanis bila, relatif
terhadap suatu kerangka acuan inersial
1. Percepatan linier pusat massanya nol.
2. Percepatan sudutnya mengelilingi sembarang sumbu tetap dalam kerangka
acuan ini juga nol.

Persyaratan di atas tidak mengharuskan benda tersebut dalam keadaan diam,
karena persyaratan pertama membolehkan benda bergerak dengan kecepatan
pusat massanya konstan, sedangkan persyaratan kedua membolehkan benda
berotasi dengan kecepatan sudut rotasi yang konstan juga. Bila benda benarbenar
diam (relatif terhadap suatu kerangka acuan), yaitu ketika kecepatan
linier pusat massanya dan kecepatan sudut rotasinya terhadap sembarang
sumbu tetap, bernilai nol keduanya, maka benda tegar tersebut dikatakan
berada dalam keseimbangan statik. Bila suatu benda tegar berada dalam
keadaan seimbang statik, maka kedua persyaratan di atas untuk keseimbangan
mekanik akan menjamin benda tetap dalam keadaan seimbang statik.
Persyaratan pertama ekuivalen dengan persyaratan bahwa total gaya eksternal
yang bekerja pada benda tegar sama dengan nol
~Feks = 0. (6.34)
Sedangkan persyaratan kedua ekuivalen dengan persyaratan bahwa total
torka eksternal yang bekerja pada benda tegar sama dengan nol
~ eks = 0. (6.35)


Jenis-Jenis Keseimbangan

Dalam kasus ini yang akan ditinjau hanyalah keseimbangan benda tegar di
dalam pengaruh gaya eksternal yang konservatif. Karena gayanya adalah
gaya konservatif, maka terdapat hubungan antara gaya yang bekerja dengan
energi potensialnya, misalnya untuk satu arah-x
Fx = −
@U
@x
(6.36)
Keadaan seimbang terjadi ketika nilai Fx = 0, kondisi ini tidak lain adalah
syarat titik ekstrem untuk fungsi energi potensial U(x). Andaikan saja titik
seimbang ini kita pilih sebagai posisi x = 0. Fungsi energi potensial dapat
diekspansikan (sebagai deret pangkat dalam x) di sekitar titik ini
U(x) = U0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . (6.37)
Karena
Fx = −
@U
@x |x=0 = 0 (6.38)
maka a1 = 0. Gaya yang bekerja pada benda ketika digeser dari titik keseimbangannya,
tergantung pada nilai a2,
Fx = −2a2x − 3a3x2 + . . . (6.39)
Untuk nilai x disekitar x = 0, Fx dapat didekati hanya dengan suku pertamanya,
sehingga
Fx −2a2x (6.40)
Bila a2 > 0 maka pergeseran kecil dari titik seimbang, memunculkan gaya
yang mengarahkan kembali ke titik seimbang. Keseimbangan ini disebut
keseimbangan stabil. Bila a2 > 0 maka pergeseran sedikit dari titik seimbang,
memunculkan gaya yang menjauhkan dari titik seimbangnya. Keseimbangan
ini disebut keseimbangan labil. Bila a2 = 0 maka pergeseran sedikit dari titik
seimbang tidak memunculkan gaya. Keseimbangan ini disebut keseimbangan
netral.

momentum, impuls, dan tumbukan

Momentum, Impuls, dan Tumbukan
A. MOMENTUM
Momentum merupakan hasil perkalian antara massa dengan kecepatan suatu benda.
p = mv
Keterangan:
p = momentum benda (kg m/s)
m = massa benda (kg)
v = kecepatan benda (m/s)

Momentum termasuk besaran vektor. Ini berarti selain memiliki besar, momentum juga memiliki arah. Dalam hal ini, arah momentum suatu benda sama dengan arah kecepatannya. Oleh karena momentum merupakan besaran vektor, maka penjumlahan momentum juga harus menggunakan operasi vektor.

B. IMPULS
Impuls merupakan hasil perkalian gaya dengan selang waktu. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa impuls sama dengan perubahan momentum.
I = F t = mv2 – mv1 = p
Keterangan:
I = impuls yang bekerja pada benda (Ns)
F = gaya yang bekerja pada benda (N)
t = selang waktu bekerjanya gaya (s)
m = massa benda (kg)
v1 = kecepatan benda sebelum diberi impuls (m/s)
v2 = kecepatan benda setelah diberi impuls (m/s)
p = perubahan momentum benda (kg m/s)

C. HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM
Berapa pun massa dan kecepatan benda, ternyata total momentum sistem benda setelah tumbukan selalu sama dengan total momentum sistem benda sebelum tumbukan.
= atau m1v1 + m2v2 = m1v1’ + m2v2’
Keterangan:
= total momentum sistem sebelum tumbukan (kg m/s)
= total momentum sistem setelah tumbukan (kg m/s)
m1 = massa benda 1 (kg)
m2 = massa benda 2 (kg)
v1 = kecepatan benda 1 sebelum tumbukan (m/s)
v2 = kecepatan benda 2 sebelum tumbukan (m/s)
v1’ = kecepatan benda setelah momentum (m/s)
v2’ = kecepatan benda setelah momentum (m/s)

Persamaan ini menunjukkan adanya hukum kekekalan momentum. Hukum kekekalan momentum menyatakan bahwa pada sebuah tumbukan, total momentum sistem sebelum tumbukan akan sama dengan total momentum sistem setelah tumbukan. Hal yang harus diperhatikan disini adalah bahwa hukum kekekalan momentum hanya berlaku bila sistem tidak mendapat gangguan dari luar.

D. JENIS – JENIS TUMBUKAN
Berdasarkan kelentingannya, ada 3 jenis tumbukan:
a) Tumbukan Lenting Sempurna
Dua benda dikatakan melakukan Tumbukan lenting sempurna jika Momentum dan Energi Kinetik kedua benda sebelum tumbukan = momentum dan energi kinetik setelah tumbukan. Dengan kata lain, pada tumbukan lenting sempurna berlaku Hukum Kekekalan Momentum dan Hukum Kekekalan Energi Kinetik.

Secara matematis, Hukum Kekekalan Momentum dirumuskan sebagai berikut:
Keterangan :
m1 = massa benda 1, m2 = massa benda 2
v1 = kecepatan benda sebelum tumbukan dan v2 = kecepatan benda 2 Sebelum tumbukan
v’1 = kecepatan benda Setelah tumbukan, v’2 = kecepatan benda 2 setelah tumbukan
Jika dinyatakan dalam momentum,
m1v1 = momentum benda 1 sebelum tumbukan, m1v’1 = momentum benda 1 setelah tumbukan
m2v2 = momentum benda 2 sebelum tumbukan, m2v’2 = momentum benda 2 setelah tumbukan

Pada Tumbukan Lenting Sempurna berlaku juga Hukum Kekekalan Energi Kinetik. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

Kita telah menurunkan 2 persamaan untuk Tumbukan Lenting Sempurna, yakni persamaan Hukum Kekekalan Momentum dan Persamaan Hukum Kekekalan Energi Kinetik. Sekarang kita tulis kembali persamaan Hukum Kekekalan Momentum :







Kita tulis kembali persamaan Hukum Kekekalan Energi Kinetik :




Kita tulis kembali persamaan ini menjadi :


Ini merupakan salah satu persamaan penting dalam Tumbukan Lenting sempurna, selain persamaan Kekekalan Momentum dan persamaan Kekekalan Energi Kinetik. Persamaan 3 menyatakan bahwa pada Tumbukan Lenting Sempurna, laju kedua benda sebelum dan setelah tumbukan sama besar tetapi berlawanan arah, berapapun massa benda tersebut.


Kita tulis lagi persamaan 3 :


Perbandingan negatif antara selisih kecepatan benda setelah tumbukan dengan selisih kecepatan benda sebelum tumbukan disebut sebagai koofisien elatisitas alias faktor kepegasan (dalam buku Karangan Bapak Marthen Kanginan disebut koofisien restitusi). Untuk Tumbukan Lenting Sempurna, besar koofisien elastisitas = 1. ini menunjukkan bahwa total kecepatan benda setelah tumbukan = total kecepatan benda sebelum tumbukan. Lambang koofisien elastisitas adalah e. Secara umum, nilai koofisien elastisitas dinyatakan dengan persamaan :

e = koofisien elastisitas = koofisien restitusi, faktor kepegasan, angka kekenyalan, faktor keelastisitasan.

b) Tumbukan Lenting Sebagian
Pada tumbukan lenting sebagian, Hukum Kekekalan Energi Kinetik tidak berlaku karena ada perubahan energi kinetik terjadi ketika pada saat tumbukan. Perubahan energi kinetik bisa berarti terjadi pengurangan Energi Kinetik atau penambahan energi kinetik. Pengurangan energi kinetik terjadi ketika sebagian energi kinetik awal diubah menjadi energi lain, seperti energi panas, energi bunyi dan energi potensial. Hal ini yang membuat total energi kinetik akhir lebih kecil dari total energi kinetik awal. Kebanyakan tumbukan yang kita temui dalam kehidupan sehari-hari termasuk dalam jenis ini, di mana total energi kinetik akhir lebih kecil dari total energi kinetik awal. Energi kinetik akhir total juga bisa bertambah setelah terjadi tumbukan. Suatu tumbukan lenting sebagian biasanya memiliki koofisien elastisitas (e) berkisar antara 0 sampai 1. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :


Bagaimana dengan Hukum Kekekalan Momentum ? Hukum Kekekalan Momentum tetap berlaku pada peristiwa tumbukan lenting sebagian, dengan anggapan bahwa tidak ada gaya luar yang bekerja pada benda-benda yang bertumbukan.

c) Tumbukan Tidak Lenting Sama Sekali
Suatu tumbukan dikatakan Tumbukan Tidak Lenting sama sekali apabila dua benda yang bertumbukan bersatu alias saling menempel setelah tumbukan. Ini berarti setelah tumbukan kedua benda memiliki kecepatan yang sama. Oleh karena kedua benda menyatu, maka kecepatan kedua benda setelah tumbukan adalah sebagai sama.
v1’ = v2’ = v’

Pada setiap tumbukan berlaku hukum kekekalan momentum, termasuk pada jenis tumbukan tak lenting sama sekali, yaitu:
=
m1v1 + m2v2 = m1v1’ + m2v2’
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2) v’

Persamaan terakhir inilah yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan tumbukan tak lenting sama sekali.

usaha dan energi

Dalam kehidupan sehari-hari dirimu pasti sering mendengar atau menggunakan kata “usaha” dan “energi”. Kata “usaha” yang sering kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari memiliki makna yang berbeda dengan pengertian usaha dalam fisika. Pada kesempitan ini kita akan belajar pokok bahasan usaha dan energi. Pokok bahasan Usaha dan Energi yang telah anda pelajari di SMP masih bersifat kualitatif dan mungkin sekarang dirimu sudah melupakan semuanya . Oleh karena itu gurumuda mencoba membantu dirimu memahami kembali (syukur kalo masih diingat) konsep Usaha dan Energi secara lebih mendalam dan tentu saja disertai juga dengan penjelasan kuantitatif (ada rumusnya). Akhirnya, semoga dirimu tidak berkecil hati, apalagi sampai kecewa dan putus asa karena ada rumus. Pahamilah dengan baik dan benar konsep Usaha dan Energi yang dijelaskan, maka dirimu tidak akan meringis ketika menatap rumus… selamat belajar ya, semoga sukses sampai di tujuan

Pada pokok bahasan fisika sebelumnya, kita telah belajar tentang gerak benda dan hubungannya dengan Gaya yang mempengaruhi gerak benda (Hukum Newton tentang Gerak). Kali ini kita menganalisis gerak benda dalam kaitannya dengan Usaha dan Energi. Usaha dan Energi merupakan besaran skalar sehingga analisis kita menjadi lebih mudah dibandingkan dengan ketika kita mempelajari gaya. Konsep usaha dan energi sangat penting, sehingga sangat dianjurkan supaya dipelajari dengan penuh semangat.

USAHA

Usaha alias Kerja yang dilambangkan dengan huruf W (Work-bahasa inggris), digambarkan sebagai sesuatu yang dihasilkan oleh Gaya (F) ketika Gaya bekerja pada benda hingga benda bergerak dalam jarak tertentu. Hal yang paling sederhana adalah apabila Gaya (F) bernilai konstan (baik besar maupun arahnya) dan benda yang dikenai Gaya bergerak pada lintasan lurus dan searah dengan arah Gaya tersebut.

Secara matematis, usaha yang dilakukan oleh gaya yang konstan didefinisikan sebagai hasil kali perpindahan dengan gaya yang searah dengan perpindahan.

Persamaan matematisnya adalah :

W = Fs cos 0 = Fs (1) = Fs

W adalah usaha alias kerja, F adalah besar gaya yang searah dengan perpindahan dan s adalah besar perpindahan.

Apabila gaya konstan tidak searah dengan perpindahan, sebagaimana tampak pada gambar di bawah, maka usaha yang dilakukan oleh gaya pada benda didefinisikan sebagai perkalian antara perpindahan dengan komponen gaya yang searah dengan perpindahan. Komponen gaya yang searah dengan perpindahan adalah F cos teta

Secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

Hasil perkalian antara besar gaya (F) dan besar perpindahan (s) di atas merupakan bentuk perkalian titik atau perkalian skalar. Karenanya usaha masuk dalam kategori besaran skalar. Pelajari lagi perkalian vektor dan skalar kalau dirimu bingun… Persamaan di atas bisa ditulis dalam bentuk seperti ini :

Satuan Usaha dalam Sistem Internasional (SI) adalah newton-meter. Satuan newton-meter juga biasa disebut Joule ( 1 Joule = 1 N.m). menggunakan sistem CGS (Centimeter Gram Sekon), satuan usaha disebut erg. 1 erg = 1 dyne.cm. Dalam sistem British, usaha diukur dalam foot-pound (kaki-pon). 1 Joule = 10⁷ erg = 0,7376 ft.lb.

Perlu anda pahami dengan baik bahwa sebuah gaya melakukan usaha apabila benda yang dikenai gaya mengalami perpindahan. Jika benda tidak berpindah tempat maka gaya tidak melakukan usaha. Agar memudahkan pemahaman anda, bayangkanlah anda sedang menenteng buku sambil diam di tempat. Walaupun anda memberikan gaya pada buku tersebut, sebenarnya anda tidak melakukan usaha karena buku tidak melakukan perpindahan. Ketika anda menenteng atau menjinjing buku sambil berjalan lurus ke depan, ke belakang atau ke samping, anda juga tidak melakukan usaha pada buku. Pada saat menenteng buku atau menjinjing tas, arah gaya yang diberikan ke atas, tegak lurus dengan arah perpindahan. Karena tegak lurus maka sudut yang dibentuk adalah 90^o. Cos 90^o = 0, karenanya berdasarkan persamaan di atas, nilai usaha sama dengan nol. Contoh lain adalah ketika dirimu mendorong tembok sampai puyeng… jika tembok tidak berpindah tempat maka walaupun anda mendorong sampai banjir keringat, anda tidak melakukan usaha. Kita dapat menyimpulkan bahwa sebuah gaya tidak melakukan usaha apabila gaya tidak menghasilkan perpindahan dan arah gaya tegak lurus dengan arah perpindahan.

Contoh Soal 1 :

Sebuah peti kemas bermassa 50 kg yang terletak pada lantai ditarik horisontal sejauh 2 meter dengan gaya 100 N oleh seorang buruh pelabuhan. Lantai tersebut agak kasar sehingga gaya gesekan yang diberikan pada karung beras sebesar 50 N. Hitunglah usaha total yang dilakukan terhadap karung berisi beras tersebut…

Panduan jawaban :

Sebelum menghitung usaha total, terlebih dahulu kita hitung usaha yang dilakukan oleh buruh karung dan usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan. Kita tetapkan arah kanan bertanda positif sedangkan arah kiri negatif. (b = buruh, Fg = gaya gesekan, N = gaya normal, w = berat). Gaya gesekan berlawanan arah dengan arah gerakan benda sehingga bertanda negatif.

Pada soal di atas, terdapat empat gaya yang bekerja pada peti kemas, yakni gaya tarik buruh (searah dengan perpindahan peti kemas), gaya gesekan (berlawanan arah dengan perpindahan peti), gaya berat dan gaya normal (tegak lurus arah perpindahan, sudut yang terbentuk adalah 90^o).

Untuk mengetahui usaha total, terlebih dahulu kita hitung besar usaha yang dilakukan masing-masing gaya tersebut.

Usaha yang dilakukan oleh buruh pelabuhan :

W_b = F_b.s = (100 N) (2 m) = 200 N.m

Usaha yang dilakukan oleh Gaya gesekan :

W_g = F_g.s =- (50 N) (2 m) = -100 N.m

Usaha yang dilakukan oleh gaya berat :

W_w = F_w.s = (mg) (2 m) cos 90^o = 0

Usaha yang dilakukan oleh gaya normal :

W_N = F_N.s = (mg) (2 m) cos 90^o = 0

Usaha total = W_b + W_g + W_w + W_N = (200 N.m) + (-100 N.m) + 0 + 0 = 100 N.m = 100 Joule

Contoh Soal 2 :

Seorang anak menarik mobil mainan menggunakan tali dengan gaya sebesar 20 N. Tali tersebut membentuk sudut 30^o terhadap permukaan tanah dan besar gaya gesekan tanah dengan roda mobil mainan adalah 2 N. Jika mobil mainan berpindah sejauh 10 meter, berapakah usaha yang dilakukan anak tersebut ?

Panduan jawaban :

Pada dasarnya soal ini sama dengan contoh soal 1. Pada soal ini terdapat sudut yang dibentuk antara gaya dengan arah horisontal, sehingga komponen gaya tarik yang dipakai adalah F cos teta (sejajar dengan arah perpindahan)

Untuk mengetahui usaha total, terlebih dahulu kita hitung besar usaha yang dilakukan masing-masing gaya : (A = anak, g = gesekan, w = berat dan N = normal)

Usaha yang dilakukan oleh Gaya gesekan :

W_g = F_g.s = (-2 N) (10 m) = -20 N.m

Usaha yang dilakukan oleh gaya berat :

W_w = F_w.s = (mg) (2 m) cos 90^o = 0

Usaha yang dilakukan oleh gaya normal :

W_N = F_N.s = (mg) (2 m) cos 90^o = 0

Usaha total :

ENERGI

Segala sesuatu yang kita lakukan dalam kehidupan sehari-hari membutuhkan energi. Untuk bertahan hidup kita membutuhkan energi yang diperoleh dari makanan. Setiap kendaraan membutuhkan energi untuk bergerak dan energi itu diperoleh dari bahan bakar. Hewan juga membutuhkan energi untuk hidup, sebagaimana manusia dan tumbuhan.

Energi merupakan salah satu konsep yang paling penting dalam fisika. Konsep yang sangat erat kaitannya dengan usaha adalah konsep energi. Secara sederhana, energi merupakan kemampuan melakukan usaha. Definisi yang sederhana ini sebenarnya kurang tepat atau kurang valid untuk beberapa jenis energi (misalnya energi panas atau energi cahaya tidak dapat melakukan kerja). Definisi tersebut hanya bersifat umum. Secara umum, tanpa energi kita tidak dapat melakukan kerja. Sebagai contoh, jika kita mendorong sepeda motor yang mogok, usaha alias kerja yang kita lakukan menggerakan sepeda motor tersebut. Pada saat yang sama, energi kimia dalam tubuh kita menjadi berkurang, karena sebagian energi kimia dalam tubuh berubah menjadi energi kinetik sepeda motor. Usaha dilakukan ketika energi dipindahkan dari satu benda ke benda lain. Contoh ini juga menjelaskan salah satu konsep penting dalam sains, yakni kekekalan energi. Jumlah total energi pada sistem dan lingkungan bersifat kekal alias tetap. Energi tidak pernah hilang, tetapi hanya dapat berubah bentuk dari satu bentuk energi menjadi bentuk energi lain. Mengenai Hukum Kekekalan Energi akan kita kupas tuntas dalam pokok bahasan tersendiri. (tuh ada linknya di bawah)…..

Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak jenis energi. Energi kimia pada bahan bakar membantu kita menggerakan kendaraan, demikian juga energi kimia pada makanan membantu makhluk hidup bertahan hidup dan melakukan kerja. Dengan adanya energi listrik, kita bisa menonton TV atau menyalakan komputer sehingga bisa bermain game sepuasnya. Ini hanya beberapa contoh dari sekian banyak jenis energi dalam kehidupan kita. Misalnya ketika kita menyalakan lampu neon, energi listrik berubah menjadi energi cahaya. Energi listrik juga bisa berubah menjadi energi panas (setrika listrik), energi gerak (kipas angin) dan sebagainya. Banyak sekali contoh dalam kehidupan kita, dirimu bisa memikirkan contoh lainnya. Secara umum, energi bermanfaat bagi kita ketika energi mengalami perubahan bentuk, misalnya energi listrik berubah menjadi energi gerak (kipas angin), atau energi kimia berubah menjadi energi gerak (mesin kendaraan).

Pada kesempatan ini kita akan mempelajari dua jenis energi yang sebenarnya selalu kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, yakni energi potensial dan energi kinetik translasi. Energi potensial dapat berubah bentuk menjadi energi kinetik ketika benda bergerak lurus dan sebaliknya energi kinetik juga bisa berubah bentuk menjadi energi potensial. Total kedua energi ini disebut energi mekanik, yang besarnya tetap alias kekal. Mari kita pelajari kedua jenis energi ini secara lebih mendalam…

gerak harmonik sederhana

Gerak Harmonik Sederhana
A. PENGERTIAN
Gerak Harmonik Sederhana (GHS) adalah gerak periodik dengan lintasan yang ditempuh selalu sama (tetap). Gerak Harmonik Sederhana mempunyai persamaan gerak dalam bentuk sinusoidal dan digunakan untuk menganalisis suatu gerak periodik tertentu. Gerak periodik adalah gerak berulang atau berosilasi melalui titik setimbang dalam interval waktu tetap. Gerak Harmonik Sederhana dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu :
 Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Linier, misalnya penghisap dalam silinder gas, gerak osilasi air raksa / air dalam pipa U, gerak horizontal / vertikal dari pegas, dan sebagainya.
 Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Angular, misalnya gerak bandul/ bandul fisis, osilasi ayunan torsi, dan sebagainya.

Beberapa Contoh Gerak Harmonik:
 Gerak harmonik pada bandul: Sebuah bandul adalah massa (m) yang digantungkan pada salah satu ujung tali dengan panjang l dan membuat simpangan dengan sudut kecil. Gaya yang menyebabkan bandul ke posisi kesetimbangan dinamakan gaya pemulih yaitu dan panjang busur adalah Kesetimbangan gayanya. Bila amplitudo getaran tidak kecil namun tidak harmonik sederhana sehingga periode mengalami ketergantungan pada amplitudo dan dinyatakan dalam amplitudo sudut
 Gerak harmonik pada pegas: Sistem pegas adalah sebuah pegas dengan konstanta pegas (k) dan diberi massa pada ujungnya dan diberi simpangan sehingga membentuk gerak harmonik. Gaya yang berpengaruh pada sistem pegas adalah gaya Hooke.

 Gerak Harmonik Teredam
Secara umum gerak osilasi sebenarnya teredam. Energi mekanik terdisipasi (berkurang) karena adanya gaya gesek. Maka jika dibiarkan, osilasi akan berhenti, yang artinya GHS-nya teredam. Gaya gesekan biasanya dinyatakan sebagai arah berlawanan dan b adalah konstanta menyatakan besarnya redaman. dimana = amplitudo dan = frekuensi angular pada GHS teredam.

B. SIMPANGAN GETAR
Simpangan getaran didefinisikan sebagai jarak benda yang bergetar ke titik keseimbangan. Karena posisi benda yang bergetar selalu berubah, maka simpangan getaran juga akan berubah mengikuti posisi benda.
Y = A sin (m) atau y = A sin w.t atau y = A sin 2 ft
Keterangan:
Y = simpangan getar (m)
A = amplitudo (m)
= sudut getar ( )
= frekuensi (Hz)
C. KECEPATAN GETAR
Kecepatan getar = kecepatan cos (meter / detik)
Vy = v cos

D. PERCEPATAN GETAR
Percepatan getar = percepatan sin (ms-2)
ay = a sin

E. ENERGI POTENSIAL GETAR
Ep = ½ ky2

F. ENERGI KINETIK GETAR
Ek = ½ mv2

G. ENERGI MEKANIK GETAR
Em = Ek + Ep

elastisitas

Ketika dirimu menarik karet mainan sampai batas tertentu, karet tersebut bertambah panjang. silahkan dicoba kalau tidak percaya. Jika tarikanmu dilepaskan, maka karet akan kembali ke panjang semula. Demikian juga ketika dirimu merentangkan pegas, pegas tersebut akan bertambah panjang. tetapi ketika dilepaskan, panjang pegas akan kembali seperti semula. Apabila di laboratorium sekolah anda terdapat pegas, silahkan melakukan pembuktian ini. Regangkan pegas tersebut dan ketika dilepaskan maka panjang pegas akan kembali seperti semula. Mengapa demikian ? hal itu disebabkan karena benda-benda tersebut memiliki sifat elastis. Elastis atau elastsisitas adalah kemampuan sebuah benda untuk kembali ke bentuk awalnya ketika gaya luar yang diberikan pada benda tersebut dihilangkan. Jika sebuah gaya diberikan pada sebuah benda yang elastis, maka bentuk benda tersebut berubah. Untuk pegas dan karet, yang dimaksudkan dengan perubahan bentuk adalah pertambahan panjang.

Perlu anda ketahui bahwa gaya yang diberikan juga memiliki batas-batas tertentu. Sebuah karet bisa putus jika gaya tarik yang diberikan sangat besar, melawati batas elastisitasnya. Demikian juga sebuah pegas tidak akan kembali ke bentuk semula jika diregangkan dengan gaya yang sangat besar. Jadi benda-benda elastis tersebut memiliki batas elastisitas. Batas elastis itu apa ? lalu bagaimana kita bisa mengetahui hubungan antara besarnya gaya yang diberikan dan perubahan panjang minimum sebuah benda elastis agar benda tersebut bisa kembali ke bentuk semula ? untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita berkenalan dengan paman Hooke.

HUKUM HOOKE

Hukum Hooke pada Pegas

Misalnya kita tinjau pegas yang dipasang horisontal, di mana pada ujung pegas tersebut dikaitkan sebuah benda bermassa m. Massa benda kita abaikan, demikian juga dengan gaya gesekan, sehingga benda meluncur pada permukaan horisontal tanpa hambatan. Terlebih dahulu kita tetapkan arah positif ke kanan dan arah negatif ke kiri. Setiap pegas memiliki panjang alami, jika pada pegas tersebut tidak diberikan gaya. Pada kedaan ini, benda yang dikaitkan pada ujung pegas berada dalam posisi setimbang (lihat gambar a). Untuk semakin memudahkan pemahaman dirimu,sebaiknya dilakukan juga percobaan.

ELASTISITAS
Elastis atau elastsisitas adalah kemampuan sebuah benda untuk kembali ke bentuk awalnya ketika gaya luar yang diberikan pada benda tersebut dihilangkan. Jika sebuah gaya diberikan pada sebuah benda yang elastis, maka bentuk benda tersebut berubah. Untuk pegas dan karet, yang dimaksudkan dengan perubahan bentuk adalah pertambahan panjang. Benda-benda elastis juga memiliki batas elastisitas. Ada 2 macam benda yaitu: benda elastis dan benda plastis (tak elastis).
1. HUKUM HOOKE
Pertambahan panjang yang timbul berbanding lurus dengan gaya tarik yang diberikan. Hal ini pertama kali diselidiki pada abad 17 oleh seorang arsitek berkebangsaan Inggris yang bernama Robert Hooke. Hooke menyelidiki hubungan antara gaya tarik yang diberikan pada sebuah pegas dengan pertambahan panjang pegas tersebut.
Hooke menemukan bahwa pertambahan panjang pegas yang timbul berbanding lurus dengan gaya yang diberikan.
F x
Lebih jauh lagi, Hooke juga menemukan bahwa pertambahan panjang pegas sangat bergantung pada karakteristik dari pegas tersebut. Pegas yang mudah teregang seperti karet gelang akan mengalami pertambahan panjang yang besar meskipun gaya yang diberikan kecil. Sebaliknya pegas yang sangat sulit teregang seperti pegas baja akan mengalami pertambahan panjang yang sedikit saja meskipun diberi gaya yang besar. Karakteristik yang dimiliki masing-masing pegas ini dinyatakan sebagai tetapan gaya dari pegas tersebut. Pegas yang mudah teregang seperti karet gelang memiliki tetapan gaya yang kecil. Sebaliknya pegas yang sulit teregang seperti pegas baja memiliki tetapan gaya yang besar. Secara umum apa yang ditemukan Hooke bisa dinyatakan sebagai berikut:
F = k. x
Keterangan:
F = gaya yang diberikan pada pegas (N)
k = tetapan gaya pegas (N/m)
x = pertambahan panjang pegas (m)
2. ENERGI POTENSIAL PEGAS
Besar energi potensial sebuah pegas dapat dihitung dari grafik hubungan gaya yang bekerja pada pegas dengan pertambahan panjang pegas tersebut.
Ep = ½ F . x
= ½ (k . x) . x


Keterangan:
Ep = energi potensial pegas (joule)
k = tetapan gaya pegas (N/m)
x = pertambahan panjang pegas (m)

3. STRESS ( TEGANGAN )
Tegangan didefinisikan sebagai hasil bagi antara gaya yang dialami kawat dengan luas penampangnya.

Keterangan:
= tegangan (N/m2)
gaya (N)
= luas penampang (m2)

4. STRAIN ( REGANGAN )
Regangan didefinisikan sebagai hasil bagi antara pertambahan panjang dengan panjang awal.
E =
Keterangan:
E = regangan (tanpa satuan)
= Pertambahan panjang (m)
= panjang mula-mula (m)
5. MODULUS YOUNG
Modulus young adalah nilai perbandingan antara tegangan dengan regangan.
E =
Persamaan tersebut dapat diuraikan lebih lanjut sebagai berikut:
E = atau E =
Keterangan:
E = modulus elastisitas (N/m2) L = panjang awal (m)
= tegangan (N/m2) A = luas penampang
= regangan = pertambahan panjang (m)
= gaya (N)

6. RANGKAIAN PEGAS
Suatu rangakaian pegas pada dasarnya tersusun dari susunan seri dan / atau susunan paralel.
1) Susunan Seri
Saat pegas dirangkai seri, gaya tarik yang dialami tiap pegas sama besarnya dan gaya tarik ini = gaya tarik yang dialami pegas pengganti ( F1 = F2 = ....Fn). Pertambahan panjang pegas pengganti seri = total pertambahan panjang tiap – tiap pegas ( = x1 + x2 + ..... xn) maka nilai konstanta pengganti = total dari kebalikan tiap – tiap tetapan pegas ( 1/ks = 1/k1 + 1/k2 + ....1/kn ).
2) Susunan Paralel
Saat pegas dirangkai paralel, gaya tarik pada pegas pengganti F = total gaya tarik pada tiap pegas ( F = F1 + F2 + ....F ). Pertambahan panjang tiap pegas sama besarnya ( xtotal = x1 + x2 + ..... xn ) maka nilai konstanta pengganti = total dari tetapan tiap – tiap pegas (kp = k1 + k2 + .... kn).

hukum newton

HUKUM NEWTON
Hukum gerak Newton adalah hukum sains yang ditemukan oleh Isaac Newton mengenai sifat gerak benda. Hukum-hukum ini dasar dari mekanika klasik. Newton pertama kali mengumumkan hukum ini dalam Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) dan menggunakannya untuk membuktikan banyak hasil mengenai gerak objek. Dalam volume ke tiga (textnya), dia menunjukan bagaimana, menggabungkan Hukum gravitasi universal, hukum gerak dapat menjelaskan Hukum gerak planet Kepler.
1. HUKUM 1 NEWTON
Jika suatu benda sedang diam maka akan memiliki kecenderungan untuk diam. Benda yang sedang bergerak cenderung untuk terus bergerak. Hal ini sesuai dengan sifat benda yaitu sifat lembam (malas). Untuk benda yang bergerak terus, kamu dapat melihatnya pada contoh berikut.
Ketika kita mendorong sebuah balok di atas meja yang permukaannya datar kita akan melihat bahwa balok tersebut akan cenderung bergerak dan kemudian berhenti. Akan tetapi, pada saat permukaan meja tersebut diperhalus, balok akan cenderung terus bergerak.
Kejadian tersebut dipelajari kali pertama oleh Sir Issac Newton dan dinyatakan sebagai Hukum I Newton yang menyatakan bahwa "suatu benda akan tetap diam atau tetap bergerak lurus beraturan jika resultan gaya yang bekerja pada benda itu sama dengan nol".
Prinsip inilah yang menyebabkan kita terdorong ke depan ketika bus tiba-tiba direm atau terdorong ke belakang ketika bus bergerak maju secara mendadak. Keadaan tersebut berhubungan dengan sifat kelembaman diri kita. Oleh sebab itu, Hukum I Newton dikenal dengan hukum kelembaman.

2. HUKUM II NEWTON
Bagaimanakah akibatnya pada suatu benda apabila resultan gaya yang bekerja padanya tidak sama dengan nol? Tentu hanya ada satu kemungkinan, benda pasti akan bergerak. Gerak apakah itu? Untuk menjawabnya, kamu harus mengingat pelajaran yang telah lalu tentang gerak.
Berdasarkan jawabanmu, dapat disimpulkan bahwa apabila resultan gaya yang bekerja pada benda tidak sama dengan nol tetapi konstan, benda akan bergerak lurus berubah beraturan. Benda yang bergerak lurus berubah beraturan kecepatannya berubah secara beraturan sehingga mengalami percepatan yang tetap.
Ketika kamu mendorong meja seorang diri, tentu meja tersebut bergerak lambat. Beda halnya ketika kamu bersama teman-temanmu mendorongnya, meja tersebut lebih mudah lagi bergerak. Hal ini terjadi karena gaya yang diberikan terhadap meja olehmu sendiri lebih kecil dibandingkan ketika kamu dibantu teman-temanmu. dengan demikian, meja lebih mudah digerakkan karena percepatannya lebih besar.
Besarnya percepatan suatu benda sebanding dengan resultan gayanya. Semakin besar resultan gaya yang bekerja pada suatu benda, percepatannya akan semakin besar. Apabila percepatan disimbolkan dengan a dan resultan gaya disimbolkan dengan ΣF, dapat dituliskan

Jika suatu benda yang sedang bergerak dengan percepatan tertentu kamu tambahkan massa kelembamannya, percepatan benda akan semakin kecil. Hal ini membuktikan bahwa percepatan benda berbanding terbalik dengan massa benda. Untuk resultan gaya tetap yang bekerja pada suatu benda dengan massa semakin besar, semakin kecil percepatan yang terjadi. Apabila massa kelembaman benda disimbolkan dengan m, diperoleh hubungan percepatan dan massa sebagai berikut:

Gejala-gejala tersebut telah dipelajari sebelumnya oleh Newton sehingga menghasilkan Hukum II Newton, yang menyatakan bahwa jika resultan gaya yang bekerja pada suatu benda tidak sama dengan nol, benda akan bergerak dengan percepatan yang besarnya sebanding dengan resultan gayanya dan berbanding terbalik dengan massa kelembamannya. Secara matematis dituliskan

Untuk benda yang bergerak dengan gaya yang bekerja ΣF = konstan, a = konstan. Artinya, benda mengalami gerak lurus berubah beraturan.

3. HUKUM III NEWTON
Apabila kamu memberikan gaya aksi pada suatu benda, ternyata benda tersebut akan mengadakan gaya reaksi yang arahnya berlawanan. Hukum III Newton atau Hukum Aksi Reaksi yang menyatakan bahwa apabila sebuah benda mengerjakan gaya (gaya aksi) kepada benda yang lain, benda kedua akan mengerjakan gaya (gaya reaksi) pada benda pertama yang besarnya sama dan arahnya berlawanan. Secara matematis Hukum III Newton dapat ditulis sebagai berikut:

Gaya aksi dan reaksi tersebut memiliki besar yang sama, tetapi berlawanan arah dan bekerja pada dua benda yang berbeda. Kini coba kamu analisis beberapa benda lain yang mengadakan aksi terhadap benda yang lainnya.

4. GAYA GESEKAN
Gaya gesek adalah gaya yang melawan gerakan antara dua permukaan yang saling bersentuhan. Kekasaran atau kehalusan bentuk permukaan dapat memengaruhi besar gaya gesekan. Semakin kasar bentuk permukaan, semakin besar gaya gesekannya. Sebaliknya, semakin halus bentuk permukaan, semakin kecil gaya gesekannya. Gaya gesek termasuk gaya sentuh karena hasil persentuhan langsung dua permukaan yang bergesekan. Arah gaya gesek selalu melawan kecenderungan geraknya. Apakah keuntungan atau kerugian gaya gesek bagi manusia? Gaya gesek yang dapat menguntungkan manusia adalah sebagai berikut:
 Akibat dari adanya gaya gesek, kamu dapat berjalan di atas tanah dengan nyaman. Jika tidak ada gaya gesek, mustahil kamu dapat berjalan karena kamu pasti tergelincir.
 Gaya gesekan antara ban mobil dengan jalan membuat mobil dapat bergerak dengan baik. Jika tidak ada gaya gesek, mobil tidak dapat bergerak dengan baik karena mobil tersebut pasti tergelincir.
 Gaya gesek dapat dimanfaatkan pula pada rem kendaraan. Dengan adanya gaya gesekan antara karet rem dan roda kendaraan, maka kamu dapat mengurangi atau menghentikan gerak kendaraan.

Kerugian gaya gesek bagi manusia adalah sebagai berikut:
 Gaya gesekan pada bagian-bagian yang ada dalam mesin mobil atau motor dapat menimbulkan panas yang berlebihan. Hal ini dapat menyebabkan mesin mobil cepat rusak. Untuk mengatasi hal ini mesin diberi oli agar gesekan antara bagian-bagian mesin lebih kecil.
 Gesekan antara ban mobil dan jalan menyebabkan ban mobil cepat aus. Selain itu, gesekan ini dapat menghambat gerak mobil sehingga mobil tidak dapat bergerak dengan kelajuan tinggi.
 Gesekan antara air laut dan kapal laut dapat menghambat gerak kapal laut. Untuk mengatasi hal ini, ujung kapal laut dibuat lancip sehingga gesekan antara kapal laut dan air laut dapat diperkecil.

 Gesekan Statis
Gaya gesek statis adalah gaya gesek yang terjadi pada saat benda masih diam. Jika kamu menarik dengan gaya 10 N dan balok tepat akan bergerak, besar gaya gesek adalah 10 N dan disebut dengan gaya gesek statis maksimum. Ketika kamu menariknya dengan gaya 6 N dan balok belum bergerak, besarnya gaya gesek statis adalah 6 N (belum mencapai maksimal).

 Gesekan Kinetis
Gaya gesek kinetis adalah gaya yang terjadi pada saat benda bergerak. besar gaya gesek kinetis lebih kecil daripada gaya gesek statis maksimum.




5. HUKUM GRAVITASI NEWTON
Newton melalui hukum gravitasi menjelaskan bahwa apabila ada dua buah benda berdekatan, maka pada kedua benda timbul gaya tarik-menarik. Gaya gravitasi ini sebanding dengan massa masing-masing benda. Artinya, semakin besar massa masing-masing benda tersebut, semakin besar pula gayagravitasi yang timbul. Sebaliknya gaya gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antar kedua benda. Semakin besar jarak kedua benda, semakin kecil gaya gravitasi yang timbul. Bunyi Hukum Gravitasi Newton secara lengkapnya: “Gaya gravitasi antara dua benda merupakan gaya terik-menarik yang besarnya berbanding lurus dengan massa masing-masing benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya.”
Secara matematis, besar gaya gravitasi dapat dituliskan sebagai:

Keterangan:
F = gaya gravitasi yang timbul (N)
G = konstanta umum gravitasi (Nm2kg-2)
m1 = massa benda 1 (kg)
m2 = massa benda 2 (kg)
r = jarak antara kedua benda (m)

6. KUAT MEDAN GRAVITASI
Konsep gaya gravitasi, dimana dua benda yang terpisah dan tidak saling sentuh dapat memeberikan pengaruh satu sama lain, merupakan konsep yang sulit dipahami bagi ilmuwan fisika klasik dahulu. Bagi mereka semua gaya harus melalui persentuhan, minimal harus ada perantaranya. Karena itu terkait dengan gaya gravitasi, mereka memperkenalkan konsep medan gravitasi. Jadi pada ruang di sekitar sebuah benda yang bermassa m akan timbul medan gravitasi. Apabila pada medan gravitasi tadi terdapat sebuah benda yang bermassa, maka benda tadi akan mengalami gaya gravitasi. Kuat medan gravitasi pada suatu titik dalam ruang diukur dengan menggunakan suatu massa uji yang kecil. Kuat medan gravitas diberikan oleh perumusan:
g =

7. ENERGI POTENSIAL GRAVITASI
Energi potensial gravitasi adalah energi akibat perbedaan ketinggian. Energi potensial akibat gravitasi Bumi disebut energi potensial gravitasi. Energi potensial gravitasi pun bisa diakibatkan oleh tarikan benda-benda lain seperti tarikan antarplanet. Adapun energi potensial yang dimiliki suatu benda akibat pegas atau karet yang kamu regangkan disebut energi potensial pegas. Energi potensial gravitasi dimiliki oleh benda yang berada pada ketinggian tertentu dari permukaan bumi. Energi potensial pegas muncul akibat adanya perbedaan kedudukan dari titik kesetimbangannya. Titik kesetimbangan adalah titik keadaan awal sebelum benda ditarik. Besarnya energi potensial gravitasi sebanding dengan ketinggian (h) dan massa benda (m).

Selain kedua besaran itu, energi potensial gravitasi dipengaruhi oleh percepatan gravitasi (g) sehingga dapat dibuat persamaan energi potensial gravitasi sebagai berikut:

Keterangan:
Ep = energi potensial ( J)
m = massa benda (kg)
g = konstanta gravitasi (m/s2)
h = ketinggian (m)

8. HUKUM KEPPLER
Johannes Kepler yang mendukung dan terinspirasi oleh teori heliosentris dari Copernicus (1473-1543) mengemukakan tiga hukum gerak planet terhadap matahari:
a) Pergerakan planet mengedari matahari dengan lintasan elips.
b) Garis yang menghubungkan planet dengan matahari melewati bidang yang sama luasnya dengan jangka waktu yang sama.
c) Pangkat tiga jarak rata-rata dari matahari berbanding lurus dengan kuadrat kala revolusi sebuah planet, R3 ~ T2.
Planet bumi yang mengelilingi matahari selama revolusinya, bumi kadang dekat kadang menjauh. Di mana posisi bumi berada pada titik terdekat dengan matahari disebut perihelium, sedangkan titik terjauhnya aphelium.

kinematika gerak

KINEMATIKA GERAK
A. PENGERTIAN GERAK
Gerak bisa didefinisikan sebagai perubahan kedudukan atau posisi suatu benda terhadap acuan tertentu. Ini berarti jika seseorang berpindah dari satu tempat ke tempat lain, kitakatakan orang tersebut telah bergerak, karena kedudukannya telah berubah. Keadaan bergerak suatu benda dapat diketahui lewat enam buah besaran yang dapat saling dipasangkan seperti berikut ini:
No Besaran Skalar Besaran Vektor
I Jarak Perpindahan
II Kelajuan Kecepatan
III Perlajuan Percepatan
Tabel 1: Besaran yang menggambar keadaan gerak
Gerak dapat digolongkan menjadi beberapa macam. Ada gerak yang teratur dan ada pula gerak yang tidak teratur. Beberapa contoh gerak yang teratur antara lain:
1) Gerak Lurus Beraturan (GLB)
2) Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)
3) Gerak Parabola (GP)
4) Gerak Melingkar Beraturan (GMB)
5) Getaran Harmonik Sederhana (GHS)

B. JARAK DAN PERPINDAHAN
Jarak didefinisikan sebagai panjang lintasan yang ditempuh oleh suatu benda dalam selang waktu tertentu, sedangkan perpindahan bisa didefinisikan sebagai perubahan kedudukan benda dihitung dari kedudukan awal benda tersebut. Jarak dan perpindahan merupakan dua besaran pokok yang memiliki dimensi yang sama, yaitu dimensi panjang [L]. Hanya saja jarak merupakan besaran skalar, sedangkan perpindahan merupakan besaran vektor yang berarti juga memiliki arah. Secara umum besar perpindahan berbeda dengan jarak, karena besar perpindahan ditentukan hanya oleh posisi awal dan posisi akhir, sedangkan jarak ditentukan oleh seluruh lintasan perjalanan benda.
Contoh:
Ada seorang pejalan kaki bergerak ke utara sejauh 3 km, kemudian berbelok ke timur sejauh 4 km, lalu berhenti. Berapa jarak yang ditempuh siswa tersebut? Berapa pula perpindahannya?

Gambar 1: Lintasan yang ditempuh pejalan kaki
Jawab:
Jarak yang ditempuh siswa tersebut berarti keseluruhan lintasan yang ditempuh yaitu 3 km + 4 km = 7 km, sedangkan perpindahannya sepanjang garis putus-putus pada Gambar 1 yaitu:
= = 5 km

C. KELAJUAN DAN KECEPATAN
Kecepatan termasuk besaran vektor, sedangkan kelajuan merupakan besaran skalar. Besaran vektor memperhitungkan arah gerak, sedangkan besaran skalar hanya memiliki besar tanpa memperhitungkan arah gerak benda. Kecepatan merupakan perpindahan yang ditempuh tiap satuan waktu, sedangkan kelajuan didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh tiap satuan waktu. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:




a) Kelajuan Rata-Rata
Kelajuan rata-rata merupakan jarak yang ditempuh tiap satuan waktu. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:


Keterangan:
= kecepatan rata-rata (m/s )
s = jarak tempuh (m)
t = waktu tempuh (s)
b) Kecepatan Rata-Rata
Kecepatan rata-rata didefinisikan sebagai perpindahan yang ditempuh terhadap waktu. Jika suatu benda bergerak sepanjang sumbu-x dan posisinya dinyatakan dengan koordinat-x, secara matematis persamaan kecepatan rata-rata dapat ditulis sebagai berikut:



Keterangan:
= kecepatan rata-rata (m/s)
x = Xakhir – Xawal = perpindahan (m)
t = perubahan waktu (s)

Kecepatan rata-rata ditentukan dengan melihat arah geraknya, sedangkan kelajuan rata rata tidak bergantung pada arah geraknya.

D. PERCEPATAN
Suatu benda akan mengalami percepatan apabila benda tersebut bergerak dengan kecepatan yang tidak konstan dalam selang waktu tertentu. Jadi percepatan adalah kecepatan tiap satuan waktu. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:
Percepatan =


Keterangan:
a = percepatan (m/s2)
v = kecepatan (m/s)
t = waktu (s)

Percepatan merupakan besaran vektor. Percepatan dapat bernilai positif (+a) dan bernilai negatif (-a) bergantung pada arah perpindahan dari gerak tersebut. Percepatan yang bernilai negatif (-a) sering disebut dengan perlambatan. Pada kasus perlambatan, kecepatan v dan percepatan a mempunyai arah yang berlawanan. Berbeda dengan percepatan, percepatan rata-rata didefinisikan sebagai perubahan kecepatan terhadap selang waktu. Percepatan rata-rata memiliki nilai dan arah.

Grafik 1: Grafik Percepatan Rata-rata

Berdasarkan grafik terlihat bahwa hubungan antara perubahan kecepatan terhadap waktu adalah linier. Artinya perubahan kecepatan ( v) pada setiap ruas di dalam grafik dibagi dengan selang waktu ( t) akan menghasilkan sebuah nilai tetap, yang disebut percepatan rata-rata. Percepatan rata-rata dari grafik tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
Percepatan rata-rata =

Keterangan:
v = perubahan kecepatan (m/s)
t = perubahan waktu (s)
a = percepatan rata-rata (m/s2)

E. GERAK LURUS
Gerak suatu benda dalam lintasan lurus disebut gerak lurus. Menurut bentuk lintasannya, gerak lurus dibagi menjadi gerak lurus beraturan dan gerak lurus berubah beraturan.


1. Gerak Lurus Beraturan (GLB)
Benda yang bergerak dengan kecepatan tetap dikatakan melakukan gerak lurus beraturan. Jadi, syarat benda bergerak lurus beraturan apabila gerak benda menempuh lintasan lurus dan kelajuan benda tidak berubah. Pada gerak lurus beraturan, benda menempuh jarak yang sama dalam selang waktu yang sama pula. Dengan kata lain, perbandingan jarak dengan selang waktu selalu konstan atau kecepatannya konstan. Pada gerak lurus beraturan (GLB) kelajuan dan kecepatan hampir sulit dibedakan karena lintasannya yang lurus menyebabkan jarak dan perpindahan yang ditempuh besarnya sama. Persamaan GLB, secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut:
v = atau s = v.t
Keterangan:
v = kecepatan (m/s)
s = perpindahan (m)
t = waktu (s)
Secara grafik dapat digambarkan sebagai berikut:

Grafik 2: Grafik Hubungan antara Jarak Terhadap Waktu pada GLB

Hubungan jarak terhadap waktu adalah sebagai berikut:



Jika benda sudah memiliki jarak tertentu terhadap acuan maka:
s = s0+ v.t
dengan s0 = kedudukan benda pada t = 0 (kedudukan awal)

Kecepatan gerak benda pada GLB adalah tetap. Seperti terlihat pada grafik di bawah, benda bergerak dengan kecepatan tetap v m/s. Selama t sekon maka jarak yang ditempuh adalah s = v x t. Jarak yang ditempuh benda tersebut dalam suatu grafik v – t pada GLB adalah sama dengan luas daerah yang diarsir.

Grafik 3: Hubungan Kecepatan (v) dan Waktu (t) pada GLB
Benda yang bergerak lurus beraturan mempunyai ciri:
 Percepatan nol
 Geraknya menempuh lintasan lurus secara teratur
 Besar kecepatan sama sengan kelajuan, dan besar perpindahan sama sengan jarak.

2. Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB)
Gerak lurus berubah beraturan (GLBB) adalah gerak benda pada lintasan lurus dengan kecepatannya berubah secara teratur tiap detik. Kamu tentunya masih ingat bahwa perubahan kecepatan tiap detik adalah percepatan. Dengan demikian, pada GLBB benda mengalami percepatan secara teratur atau tetap. Hubungan antara besar kecepatan (v) dengan waktu (t) pada gerak lurus berubah beraturan (GLBB) ditunjukkan pada grafik di bawah ini.

Grafik 4: Grafik Hubungan antara V – t pada GLBB

Jika vomenyatakan kelajuan benda mula-mula (t = 0) dan v0 menyatakan kelajuan benda pada waktu t, maka kelajuan rata-rata benda (v) dapat dituliskan berikut ini:
dan jaraknya s = v . t, maka

Percepatan maka atau vt = v0 + at
Dari persamaan di atas diperoleh:

Jadi, s = v0 t + ½at2
s menyatakan jarak yang ditempuh benda yang bergerak dengan percepatan tetap a selama waktu t dari kedudukannya mula-mula.

Grafik 5: Grafik Hubungan Antara; (a) s – t, (b) v – t, (c) a – t pada Gerak Lurus Berubah Beraturan

F. GERAK MELINGKAR BERATURAN
Gerak melingkar beraturan merupakan gerak suatu benda yang menempuh lintasan berbentuk lingkaran dengan kelajuan linear konstan. Frekuensi (f) suatu benda yang bergerak melingkar beraturan merupakan banyaknya putaran yang dilakukan suatu benda per satuan waktu. Periode putaran suatu benda (T) didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan benda untuk menempuh satu putaran. Periode putaran suatu benda mempunyai hubungan dengan frekuensi yang dinyatakan oleh:
T =
Kecepatan sudut pada gerak melingkar beraturan (GMB) dirumuskan:

Kecepatan sudut mempunyai hubungan dengan kelajuan linear yang dirumuskan:
=
Besar kecepatan linear (v) pada gerak melingkar adalah tetap, tetapi arahnya berubah, sehingga vektor kecepatannya berubah. Perubahan vektor kecepatan menyebabkan benda mengalami percepatan sentripetal (as). Percepatan sentripetal mempunyai hubungan dengan kecepatan linear yang dinyatakan oleh:
as =
Untuk bergerak melingkar beraturan, setiap benda memerlukan resultan gaya yang arahnya radial ke dalam (menuju pusat lingkaran) yang disebut gaya sentripetal Fs. Gaya sentripetal dirumuskan sebagai:
Fs = mas
= m

G. GERAK PARABOLA
Gerak Parabola merupakan salah satu jenis gerak dalam bidang datar, dimana lintasannya melengkung berbentuk parabola, sebagai hasil perpaduan GLB dan GLBB. Semua benda yang dilemparkan dengan kelajuan awal (vo) dan sudut elevasi ( ) tertentu akan membentuk gerak parabola. Sudut elevasi merupakan sudut yang dibentuk oleh vektor kecepatan awal benda terhadap permukaan tanah. Jika gerak benda diuraikan menurut komponen-komponennya dalam arah vertikal dan horizontal, maka komponen gerak benda dalam arah horizontal akan berbentuk GLB. Ini ditandai dengan komponen kecepatan benda dalam arah horizontal yang konstan (vx = konstan).
1) Kecepatan pada sumbu x selalu bernilai tetap
Vx = V0 Cos
2) Kecepatan pada sumbu y
Vy = V0 Sin - g.t
3) Kecepatan pada suatu titik
V =
4) Lama di udara
tx =
5) Waktu untuk mencapai puncak
ty =
6) Jarak terjauh
x =
7) Jarak tertinggi
y =